1
Her $a, b$ tam sayısı için $n^2 + an + b$ sayısının en az $2018$ farklı pozitif böleni olacak şekilde bir $n$ pozitif tam sayısının bulunduğunu gösteriniz.
2
Her $x, y$ gerçel sayıları için $$f(xf(y)+y^2)=f((x+y)^2)-xf(x)$$ koşulunu sağlayan tüm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ örten fonksiyonları bulunuz.
3
Bir emekli dil bilimci (E.D.B.), ilk hamlede tamamen farklı $n$ harften oluşan bir kelime yazar. Her hamlede, son kelimenin ilk $i$ harfini ters çevirerek elde edilen kelimenin daha önce yazılmamış olduğu durumu kontrol eder ve bu yeni kelimeyi yazar. E.D.B.'nin $n!$ hamle yapabileceğini kanıtlayınız.
4
Dar açılı çeşitkenar $ABC$ üçgeninde, $[BC]$ kenarının orta noktası $D$ dir. $E$ ve $F$ sırasıyla, $[AC]$ ve $[AB]$ üzerinde noktalar olmak üzere; $CDE$ ve $AEF$ üçgenlerinin çevrel çemberleri $[AD]$ üzerindeki $P$ noktasında kesişmektedir. $EFP$ üçgeninin $P$ deki açıortayı, $EF$ yi $Q$ noktasında kesiyor. $AQP$ üçgeninin çevrel çemberine $A$ noktasında teğet olan doğrunun $BC$ ye dik olduğunu kanıtlayın.
5
$25$ öğrenciden oluşan bir gruptaki herhangi iki öğrenci arkadaşsa, bu gruba takım diyelim. Bir okuldaki herhangi bir öğrencinin en az bir takıma ait olduğu bilinmektedir, ancak herhangi iki öğrenci arkadaşlıklarını sonlandırırsa en az bir öğrenci hiçbir takıma dahil değildir. Bir takımdaki en az bir öğrencinin takım dışında hiç arkadaşı yoksa bu takıma özel diyelim. Herhangi iki arkadaşın mutlaka bir özel takıma dahil olduğunu gösteriniz.
6
$a_0, a_1, \ldots, a_{100}$ ve $b_1, b_2,\ldots, b_{100}$ gerçel sayılar dizileri her $n=0, 1, \ldots, 99$ için, ya
$$a_{n+1}=\frac{a_n}{2} \quad \text{ve} \quad b_{n+1}=\frac{1}{2}-a_n,$$ ya da $$a_{n+1}=2a_n^2 \quad \text{ve} \quad b_{n+1}=a_n$$ özelliğini sağlar.
$a_{100}\leq a_0$ ise, $b_1+b_2+\cdots+b_{100}$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?
7
$a, b$ tam sayıları için, $\text{obeb}(a,b)=1$ ise $(a,b)$ koordinatlarına sahip olan noktaya temel diyelim. Köşeleri temel noktalardan oluşan bir çizgenin kenarları şu şekilde çiziliyor:
$(a_1,b_1)$ ve $(a_2,b_2)$ arasında bir kenar olması için gerek ve yeter koşul, $(2a_1=2a_2\in \{b_1-b_2, b_2-b_1\}$ veya $2b_1=2b_2\in\{a_1-a_2, a_2-a_1\})$ dir.
Geriye kalan çizge bir orman olacak şekilde çizgenin bazı kenarları siliniyor. En az kaç kenar silinmelidir ki bu orman elde edilsin? Böyle bir ormanda en az kaç ağaç vardır?
8
$m\geq 3$, $n$ ve $x_1,x_2, \ldots , x_m$ tam sayılar olmak üzere; her $2\leq i \leq m-1$ sayısı için $x_{i+1}-x_i \equiv x_i-x_{i-1} \pmod{n} $ ise, $(x_1,x_2,\ldots , x_m)$ $m$-lisine $\bmod n$ de bir aritmetik dizi diyelim. $p\geq 5$ asal bir sayı ve $1<a<p-1$ bir tamsayı olsun. $a$ nın pozitif üslerinin $p$ ye bölünmesi sonucu elde edilen kalanların kümesi ${a_1,a_2,\ldots , a_k}$ olsun. ${a_1,a_2,\ldots , a_k}$ kümesinin bir permütasyonu $(\text{mod } p)$ üzerinde bir aritmetik dizi ise, $k=p-1$ olduğunu gösteriniz.
9
Bir $T$ üçgeni ve bir $d$ doğrusu için, düzlemde bir noktadan $T$ nin kenarlarına çizilen dikmelerin ayaklarının hepsi $d$ üzerindeyse, bu durumda $d$, $T$ yi odaklar deriz. $T_1$ i odaklayan doğrular kümesi ile $T_2$ yi odaklayan doğrular kümesi aynıysa, bu durumda $T_1$ ve $T_2$ denktir diyelim. Herhangi bir üçgen için, düzlemde ona denk olan tam olarak bir eşkenar üçgen olduğunu kanıtlayınız.
|
1