Geomania.Org Forumları

$2019$ elemandan oluşan bir $S$ kümesinin $A_1,A_2,...,A_n$ alt kümelerinin herhangi üçünün birleşimi $S$ ye eşit olup bu kümelerin birleşimi $S$ ye eşit olan ikisi bulunmamaktadır. Buna göre $n$ nin alabileceği en büyük değeri bulunuz.

$a,b,c$ pozitif gerçel sayıları $abc=1$ , $a+b+c=5$ ve

$$(ab+2a+2b-9)(bc+2b+2c-9)(ca+2c+2a-9)\ge0$$

koşullarını sağlamak üzere,

$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$$

sayısının en küçük değerini bulunuz

$|AB|=|AC|$ olan bir $ABC$ üçgenin çevrel çemberi $\omega$ nın $AC$ küçük yayı üzerinde bir $D$ noktası alınıyor. $B$ noktasının $AD$ doğrusuna göre simetriği $E$ olmak üzere, $BE$ ile $\omega$ çemberinin kesişim noktası $F$ olsun. $\omega$ çemberine $F$ noktasından çizilen teğetle $AC$ doğrusunun kesişim noktası $K$, $DF$ ve $AB$ doğrularının kesişim noktası $L$ olmak üzere, $K$, $L$, $E$ noktalarının doğrusal olduğunu gösteriniz.

$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $n$ nin pozitif bölenlerinin sayısını $\sigma(n)$, $n$ nin pozitif böleni olup $1$ fazlası $n+1$ i tam bölen pozitif tam sayıların sayısını da $s(n)$ ile gösterelim.

$$2s(n) - \sigma(n) $$

ifadesinin alabileceği en büyük değeri bulunuz.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $|BC|$ nin orta noktası $D$ olmak üzere $|AD|$ üzerinde bir $P$ noktası alınıyor. $ABP$ ve $ACP$ açılarının iç açıortayları $Q$ noktasında kesişiyor. $BQ\bot QC$ ise, $Q\in [AP]$ olduğunu kanıtlayınız.

Başlangıçta masa üzerindeki $k$ öbekte toplam $2019$ boncuk bulunuyor. Her işlemde bir öbek seçilip iki öbeğe bölünüyor ya da masadan kaldırılıyor. Her başlangıç durumu için birkaç işlem sonucunda masada birbirinden farklı sayıda boncuk içeren $k$ öbek oluşturulabiliyorsa, $k$ nin alabileceği en büyük değeri bulunuz.