Tübitak Lise 2. Aşama - 2019 Çözümleri

1

$a, b, c$ pozitif gerçel sayıları $$(\sqrt {ab}-1)(\sqrt{bc} - 1)(\sqrt {ca} - 1)=1$$ şartını sağlıyor. $$a - \dfrac bc,\ a - \dfrac cb,\ b - \dfrac ca, \ b - \dfrac ac, \ c - \dfrac ab,\ c - \dfrac ba$$ sayılarının en çok kaçı $1$ den büyük olabilir?

2

Her $n$ pozitif tam sayısı için $d(n)$ ile $n$ nin pozitif bölenlerinin sayısını gösterelim. $k$ verilmiş bir tek sayı olmak üzere, $$\text{obeb}(k, d(a_1)d(a_2)\cdots d(a_{2019}))=1$$ olmasını sağlayan bir $(a_1, a_2, \dots, a_{2019})$ artan aritmetik pozitif tam sayı dizisi bulunduğunu gösteriniz.

3

$2019$ öğrencinin bulunduğu bir okuldaki öğrenci kulüplerine sadece öğrenciler üye olabilmektedir. Her öğrenci kulübünün, kendi üyeleri arasından seçilmiş $12$ kişilik bir yönetim kurulu vardır. Bir kulüp toplantısı ancak katılımcıların hepsi kulübün üyeleriyse ve kulübün yönetim kurulunun hepsi katılımcılar arasındaysa gerçekleşebilir. Bu okulda, eleman sayısı en az $12$ olan her öğrenci kümesinin, tam olarak bir öğrenci kulübünün toplantılarını gerçekleştirebildiği biliniyor. Buna göre, tam olarak $27$ üyesi olan öğrenci kulüplerinin sayısının alabileceği tüm değerleri bulunuz.

4

$|AB|=|AC|$ şartını sağlayan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin küçük $AC$ yayı üzerinde uç noktalardan farklı bir $M$ noktası alınıyor. $BM$ nin $AC$ yi kestiği nokta $E$, $BMC$ açısının iç açıortayının $BC$ yi kestiği nokta $F$ olmak üzere $m(\widehat {AFB}) = m(\widehat {CFE})$ eşitliği sağlanıyor. $ABC$ nin eşkenar olduğunu gösteriniz.

Çözüm 1:

$\mid AE \mid = m$ , $\mid AB \mid = x$ , $\mid BH \mid=y$ , $m(\widehat{ABM})=\theta$ , $m(\widehat{EFC})=\beta$ , $m(\widehat{ABC})=\alpha$ ve $m(\widehat{HFD})=\phi$ olsun.

$[MF$ ışını çemberi ikinci kez $D$ noktasında kessin. $AD$ çizilirse $BC$ ye dik olmalıdır çünkü $m(\widehat{BAD})=m(\widehat{DAC})$ olur. Bu nedenle $AD \perp BC$ bulunur. $AD \cap BC =\{H \}$ olacak şekilde $H$ noktamızı alalım. Bu bilgilerle şekildeki açıları yazalım.

$m(\widehat{MBC})=m(\widehat{CAM})=\alpha -\theta$ , $m(\widehat{FAC})=\beta - \alpha $ ,$m(\widehat{AFM})=180-\beta-\phi$

ve $m(\widehat{AMD})=90$ olur.

$EFC \sim AFB$ olduğu kolayca görülebilir.

$\dfrac{EF}{AF}=\dfrac{FC}{FB}=\dfrac{EC}{AB}=\dfrac{x-m}{x}$

$FC=x.k$ olsun. $BC=(x-m).k+xk=2y$ buradan $k=\dfrac{2y}{2x-m}$ bulunur.

$FC=2y.\dfrac{x-m}{2x-m}$

$HF=\dfrac{my}{2x-m}$ bulunur.

Pisagor teoreminden $AH= \sqrt{x^2-y^2}$ bulunur. Çemberde kuvvet teoreminden

$$AH.HD=BH.HC$$ olacağından $HD=\dfrac{y^2}{\sqrt{x^2-y^2}}$

$AMCF$ dörtgeninde köeşegenlere göre trigonometrik seva teoremi yazalım.

$$\dfrac{\sin (90-\alpha)}{\sin90}.\dfrac{\sin(\alpha-\theta)}{\sin(\beta-\alpha)}.\dfrac{\sin(180-\beta-\phi)}{\sin(\phi)}.\dfrac{\sin \alpha}{\sin \theta}=1$$ olduğunu elde ederiz. $(1)$

$BEA$ üçgeninde sinüs teoreminden

$\dfrac{m}{\sin \theta}=\dfrac{BE}{\sin 2\alpha}$ elde edilir. Bunu $(1)$ de yerine koyalım.

$$\dfrac{2 \sin \alpha .\cos \alpha }{\sin \theta}.\dfrac{\sin(\alpha-\theta)}{\sin(\beta-\alpha)}.\dfrac{\sin(\beta+\phi)}{\sin(\phi)}=2$$

$$\dfrac{BE}{m}.\dfrac{\sin(\alpha-\theta)}{\sin(\beta-\alpha)}.\dfrac{sin(\beta+\phi)}{\sin \phi}=2$$ $(2)$ elde edilir.

$BEC$ üçgeninde sinüs teoreminden $\dfrac{(x-m)}{\sin(\alpha-\theta)}=\dfrac{BE}{\sin \alpha}$ buradan

$\dfrac{(x-m). \sin\alpha}{BE}=\sin(\alpha-\theta)$

$AFC$ üçgeninde sinüs teoreminden

$\dfrac{\dfrac{2.y.(x-m)}{2x-m}}{\sin(\beta-\theta)}=\dfrac{AF}{\sin \alpha}$ buradan

$\dfrac{2y.(x-m).\sin\alpha}{(2x-m).AF}=\sin(\beta-\theta)$

Bulduklarımızı $(2)$ de yerine koyalım.

$\dfrac{BE}{m}.\dfrac{\dfrac{(x-m).\sin\alpha}{BE}}{\dfrac{2.y.(x-m).\sin\alpha}{(2x-m).AF}}.\dfrac{\sin(\beta+\phi)}{\sin\phi}=2$
Gerekli sadeleştirmeler yapılırsa $\dfrac{(2x-m).AF.sin(\beta+\phi)}{2my.\sin\phi}=2$ elde edilir. $(3)$

$AHF$ dik üçgeninden $\cos\beta=\dfrac{\dfrac{my}{2x-m}}{AF}$ elde edilir. $(3)$ te yerine koyarsak

$\dfrac{2\sin\phi \cos\beta}{\sin(\beta+\phi)}=\dfrac{1}{2}$ Buradan

$4.\sin\phi \cos\beta=\sin(\phi+\beta)=\sin\phi .\cos\beta+\sin\beta.\cos\phi$ Buradan da

$3\cos\beta \sin\phi=\sin\beta \cos\phi$ buradan da $tan\beta=3\tan\phi$ $(4)$ bulunur.

$DHF$ üçgeni yardımıyla $\tan\phi=\dfrac{\dfrac{y^2}{\sqrt{x^2-y^2}}}{\dfrac{my}{2x-m}}$ yani $\tan\phi=\dfrac{y^2.(2x-m)}{\sqrt{x^2-y^2}.my}$

$ADF$ üçgeninden $\tan\beta=\dfrac{\sqrt{x^2-y^2}}{\dfrac{my}{2x-m}}=\dfrac{\sqrt{x^2-y^2}.(2x-m)}{my}$ bu iki eşitliği $(4)$ te yerine koyalım.

$\dfrac{3y^2 .(2x-m)}{\sqrt{x^2-y^2}.my}=\dfrac{\sqrt{x^2-y^2}.(2x-m)}{my}$ sadeleştirmeler yapılırsa

$\dfrac{3y^2}{\sqrt{x^2-y^2}}=\sqrt{x^2-y^2}$ elde edilir. Buradan

$3y^2=x^2-y^2$ ve $4y^2=x^2$ bulunur. Buradan $2y=x$ olacağı açıktır. $BC=2y$ olduğundan $AB=AC=x$ olduğundan dolayı $AB=AC=BC=2y$ elde edilir. İspat biter.

Çözüm 2:

Açıların eşitliğinden $\triangle ABF\sim\triangle ECF$ olduğu görülebilir. Buradan $\dfrac{|BF|}{|FC|}=\dfrac{|BA|}{|CE|}$ elde edilir.

Öte yandan, iç açıortay teoreminden $\dfrac{|BF|}{|FC|}=\dfrac{|BM|}{|CM|}$ dir.

Yukarıdaki iki eşitlikten $\dfrac{|BA|}{|CE|}=\dfrac{|BM|}{|CM|} \Longrightarrow \dfrac{|BA|}{|BM|} = \dfrac{|CE|}{|CM|}$ elde edilir.

Çemberde açıdan $\angle ABM = \angle ACM = \angle ECM$ olduğundan, kenar-açı-kenar benzerliği gereği $\triangle BAM\sim\triangle CEM$ elde edilir. Dolayısıyla $\angle BMA = \angle CME$ dir.

Buradan $\angle BCA = \angle BMA = \angle CME = \angle CMB = \angle CAB$ elde edilir ki bu, $\triangle ABC$ nin üçüncü açısının da eşit olan diğer iki açıya eşit olduğunu gösterir. Yani $\triangle ABC$ eşkenardır. $\blacksquare$

5

$f : \{ 1, 2, \dots, 2019 \} \rightarrow \{-1, 1\}$ bir fonksiyon olmak üzere, her $k \in \{1,2,\dots, 2019\}$ için öyle bir $\ell \in \{1,2,\dots, 2019\}$ vardır ki, $$\sum_{i\in \mathbb Z: \ (\ell - i)(i-k) \ge 0}{f(i)} \le 0$$ eşitsizliği sağlanır. Buna göre, $$\sum_{i\in \mathbb Z: \ 1 \le i \le 2019}{f(i)}$$ toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

6

Bir $n>2$ tam sayısı ve bir $a$ tam sayısı verildiğinde $n \ | \ a^d - 1$ ve $n \not | \ a^{d-1} + \dots + a + 1$ şartlarını sağlayan bir $d$ pozitif tam sayısı bulunuyorsa, $a$ tam sayısı $n$-ayırandır diyelim. Bir $n>2$ tam sayısı verildiğinde, $0<a<n$ ve $\text{obeb}(a,n)=1$ olup $n$-ayıran olmayan $a$ tam sayılarının sayısına $n$ nin kusuru diyelim. Kusuru en küçük mümkün değere eşit olan tüm $n>2$ tam sayılarını bulunuz.