Tübitak Ortaokul 1. Aşama - 2019 Çözümleri

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $A$ dan $[BC]$ kenarına inen dikme ayağı $D$ noktasıdır. $[AB]$ kenarının orta noktası $E$ olmak üzere, $s(\widehat{BAD})=20^\circ$ ve $|AE|=|CD|$ ise, $s(\widehat{BCE})$ kaçtır?

$ \textbf{a)}\ 50^\circ \qquad\textbf{b)}\ 45^\circ \qquad\textbf{c)}\ 40^\circ \qquad\textbf{d)}\ 35^\circ \qquad\textbf{e)}\ 30^\circ $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{D}$

$ABD$ dik üçgeninin $[DE]$ kenarortayı çizilirse $|CD|=|AE|=|EB|=|ED|$ olup $BED$ ve $CDE$ üçgenlerinin ikizkenar olduğunu anlarız. $s(\widehat{ABD})=90^\circ - 20^\circ = 70^\circ = s(\widehat{EDB})$ dir. $ s(\widehat{BCE}) = \dfrac {s(\widehat{EDB})} {2} = 35^\circ $ bulunur.

$\dfrac{n^3-24}{n+1}$ ifadesinin bir pozitif tam sayı olmasını sağlayan $n$ pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 28 \qquad\textbf{b)}\ 35\qquad\textbf{c)}\ 42 \qquad\textbf{d)}\ 56 \qquad\textbf{e)}\ 62$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{A}$

$\dfrac{n^3+1}{n+1}+\dfrac{25}{n+1} = (n^2-n+1)+\dfrac{25}{n+1} $ ifadesinin pozitif tam sayı olması için $n+1|25$ olmalıdır. Bu durumda $n+1\in\{ 5, 25 \}$ dir. $n$ nin alabileceği pozitif tam sayı değerlerinin toplamı $4+24=28$ bulunur.

Bir tahtada $12$ sayısı yazılıdır. Her işlemde tahtadaki sayı silinip, yerine bu sayının rakamları çarpımının $24$ fazlası yazılıyor. $100$ işlem sonucunda tahtada yazılı olan sayı kaç olur?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 24 \qquad\textbf{c)}\ 32 \qquad\textbf{d)}\ 36 \qquad\textbf{e)}\ 42$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{C}$

$1.$ işlem sonucunda $1\cdot 2 + 24 = 26$ olur.
$2.$ işlem sonucunda $2\cdot 6 + 24 = 36$ olur.
$3.$ işlem sonucunda $3\cdot 6 + 24 = 42$ olur.
$4.$ işlem sonucunda $4\cdot 2 + 24 = 32$ olur.
$5.$ işlem sonucunda $3\cdot 2 + 24 = 30$ olur.
$6.$ işlem sonucunda $3\cdot 0 + 24 = 24$ olur.
$7.$ işlem sonucunda $2\cdot 4 + 24 = 32$ olur.
$8.$ işlem sonucunda $3\cdot 2 + 24 = 30$ olur.

$4.$ ve $17.$ işlemler aynı sonucu verdiği için $4.$ işlemden sonra $3$-lü gruplar halinde (periyodik olarak) işlemlerin sonucu tekrar edecektir. $100-3\cdot 32 = 4$ olduğundan $100.$ işlemin sonucu ile $4.$ işlemin sonucu aynıdır.

Her bir basamağındaki rakam $1$, $2$ veya $3$ olan ve $3$ ile tam bölünen kaç tane $10$ basamaklı pozitif tam sayı vardır?

$ \textbf{a)}\ 3\cdot 2^{10} \qquad\textbf{b)}\ 3\cdot 2^{11} \qquad\textbf{c)}\ 3^{9}- 2^9 \qquad\textbf{d)}\ 2\cdot 3^{9} \qquad\textbf{e)}\ 3^9 $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{E}$

Birler basamağı hariç tüm basamaklar için $1,2,3$ rakamlarından birini keyfi olarak seçebiliriz. Birler basamağı hariç her bir basamağı $3$ farklı yolla belirleyebiliyoruz. Çarpma prensibiyle $3^9$ elde edilir. Bu basamaklardaki rakamların toplamının $3k$, $3k+1$ ya da $3k+2$ oluşuna göre birler basamağını da sırasıyla $3$, $2$ ya da $1$ olarak tek türlü seçebiliriz. Böylece tüm rakamların toplamı $3$'ün katı olup sayı $3$ ile tam bölünebilir. Sonuç olarak istenen özellikte $3^9 \cdot 1 = 3^9 $ tane sayı yazılabilir.

Bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alınıyor. $BC$ doğrusuna paralel olan bir doğru $[AC]$ ve $[AB]$ kenarlarını sırasıyla $E$ ve $F$ noktalarında kesiyor. $Alan(BFD) = 1$, $Alan(DEF) = 2$ ve $Alan(DEC) = 3$ ise, $Alan(AFE)$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{3}{2} \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{5}{2} \qquad\textbf{e)}\ 3 $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{C}$

$BDF$, $DEF$, $CDE$ üçgenlerinin yükseklikleri aynı olduğundan alanları ile taban uzunlukları orantılıdır. $|BD|=x$, $|EF|=2x$, $|CD|=3x$ olur. $AFE \sim ABC $ (açı-açı-açı) benzerliği olup benzerlik oranı $k=\dfrac{2x}{4x}=\dfrac{1}2 $ dir. Buna göre benzer üçgenlerde alanlar oranı $\dfrac{Alan(AFE)}{Alan(ABC)}=k^2= \dfrac{1}4 $ elde edilir. $Alan(BCEF)=3\cdot Alan(AFE)=6$ olduğundan $Alan(AFE)=2$ bulunur.

Pozitif tam bölen sayısı $15$ olan en küçük pozitif tam sayının rakamları toplamı kaçtır?

$ \textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 9 \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 14 \qquad\textbf{e)}\ 15 $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{B}$

$n$ sayısın pozitif bölen sayısı $15=3\cdot 5 $ olduğundan $n$ nin ya $1$, ya da $2$ asal çarpanı vardır. $p$, $q$ farklı asal sayılar olmak üzere

$n=p^x$ biçiminde ise pozitif bölen sayısı $x+1=15$ olup $x=14$, $n=p^{14}$ bulunur. Bu şekilde en küçük değer $n=2^{14}$ tür.

$n=p^xq^y$ biçiminde ise pozitif bölen sayısı $(x+1)(y+1)=15$ olup $x=2$, $y=4$ tür. $n=p^2q^4$ bulunur. Bu şekilde en küçük değer $n=2^43^2=144$ tür.

$144<2^{14}$ olduğundan $n=144$ en küçük değerdir. Rakamlar toplamı $1+4+4=9$ olur.

Bir torbada her biri kırmızı, mavi ya da sarı renklerinden biriyle boyanmış $24$ top vardır. Her hamlede torbadan ya $1$ sarı top ya da $1$ kırmızı ve $1$ mavi top çekiliyor. $15$ hamle sonunda torbada sadece $2$ kırmızı top kaldığına göre başlangıçta bu torbada kaç sarı top vardır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 8 $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{E}$

$24-2=22$ top çıkarılmış. $2$ top çıkarma işlemi $x$ kere, $1$ top çıkarma işlemi $y$ kere yapılsın. $x + y=15$, $2x + y=22$ denklemlerinden $x=7$ ve $y=8$ bulunur. Demek ki başlangıçta $8$ sarı top varmış.

Tam sayılardan oluşan $n$ elemanlı her kümede toplamı veya farkı $17$ ile tam bölünen iki eleman bulunuyorsa, $n$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

$ \textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 10 \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 12 \qquad\textbf{e)}\ 13 $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{B}$

$n=9$ olamayacağına bir örnek verelim. $\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \}$ kümesindeki herhangi iki elemanın farkı mutlak değerce $1,2,\dots , 8$ olabilir. Herhangi iki elemanın toplamı ise $ \{ 1, 2, \dots , 15 \} $ olabilir. Yani hiçbir yolla $17$ nin tam katı olan bir değer elde edilemiyor. O halde $n\geq 10$ dur.

Şimdi tam sayılardan oluşan $ n=10 $ elemanlı her kümede, toplamı veya farkı $17$ ye bölünebilen iki eleman bulunabileceğini gösterelim. Sayılar $\mod 17$ de $0,1,2,\dots, 16$ kalanlarını verir. Aynı kalanı veren iki eleman varsa bunların farkı $17$ ile tam bölünür ve istenen özellik sağlanmış olur. Bu $10$ sayı içinde $\mod 17$ de aynı kalanı veren herhangi iki sayı bulunmasın. Kalanları $\{ 0 \}$, $\{ 1, 16 \}$, $\{ 2, 15 \}$, $\{ 3, 14 \}$, $\{ 4, 13 \}$, $\{ 5, 12 \}$, $\{ 6, 11 \}$, $\{ 7, 10 \}$, $\{ 8, 9 \}$ şeklinde kümelere ayıralım. $9$ küme var ve $n=10$ tane tam sayımız var. Güvercin yuvası prensibi gereği aynı kümeden iki eleman seçilmek zorundadır. Bu elemanların kalanlarının toplamları $17$ olmaktadır ve istenen şart sağlanır.

$s(\widehat{ABC})=90^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[AC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alınıyor. $\dfrac{|AB|}{|BC|}=\sqrt{3}$ ve $\dfrac{|BD|}{|AC|}=\dfrac{\sqrt{3}}4$ ise, $s(\widehat{BDC})$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 30^\circ \qquad\textbf{b)}\ 45^\circ \qquad\textbf{c)}\ 60^\circ \qquad\textbf{d)}\ 75^\circ \qquad\textbf{e)}\ 90^\circ $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{E}$

$|AB|=2$ dersek verilen orandan dolayı $|BC|=2\sqrt{3}$ olur. Pisagor teoreminden $|AC|=4$ olup $s(\widehat{BCA})=30^\circ $ dir. $B$ den $AC$ ye inen dikme ayağı $H$ olmak üzere $BHC$ dik üçgeninde $|BH|=\dfrac{|BC|}{2}=\sqrt{3}$ olur. Öte taraftan $\dfrac{|BD|}{|AC|}=\dfrac{\sqrt{3}}4$ oranından dolayı $|BD|=\sqrt{3}$ olur. Böylece $D$ ve $H$ noktalarının çakıştığını anlarız ve $s(\widehat{BDC})=90^\circ $ olur.

$24$ fazlası $27$ ile, $27$ fazlası $24$ ile tam bölünebilen en küçük pozitif tam sayının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 18 \qquad\textbf{b)}\ 16 \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 12 \qquad\textbf{e)}\ 10 $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{D}$

Aradığımız sayı $n$ olsun. $n+24 \equiv 0 \pmod{27}$ ve $n+27 \equiv 0 \pmod{24}$ yazılabilir. $k, t$ birer tam sayı olmak üzere $n=27k + 3$ biçimindedir.

Bu değeri $n+27 \equiv 0 \pmod{24}$ denkliğinde yazarsak $27k+3+27 \equiv 0 \pmod{24}$ olup denkliği $3$ ile sadeleştirirsek $9k \equiv -2 \pmod{8}$ olur. Buradan $k\equiv 6 \pmod{8}$ ve $k=8t+6$ dır.

Bu değeri $n=27k+3$ eşitliğinde yazarsak $n=216t + 165$ elde ederiz. $t=0$ için en küçük pozitif değer $n=165$ olup rakamlarının toplamı $1+6+5=12$ dir.

Bir masada bir siyah ve birkaç beyaz taş bulunmaktadır. Gram cinsinden siyah taşın ağırlığı, beyaz taşların ağırlıkları ortalamasından $36$, tüm taşların ağırlıkları ortalamasından ise $32$ fazla olduğuna göre, masada toplam kaç taş vardır?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 11 \qquad\textbf{c)}\ 13 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 17 $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{A}$

Siyah taşın ağırlığı $x$ gram ve $n$ tane beyaz taşın ağırlıkları sırasıyla $y_i$ $(i=1,2,\dots , n)$ gram olsun. Verilenlerden
$$ x= \dfrac{\sum_{i=1}^{n}y_i }{n} +36 = \dfrac{x+ \sum_{i=1}^{n}y_i }{n+1} +32 \tag{1}$$
olup $\sum_{i=1}^{n}y_i = n(x-36)$ yazılır. Yine $(1)$ denklemlerinden $$ x= \dfrac{x+n(x-36)}{n+1} +32 \tag{2}$$ olup düzenlenirse $n=8$ elde edilir. Böylece toplam $8+1=9$ tane taş vardır.

Başlangıçta bir sayı doğrusu üzerindeki $0$ noktasında bulunan bir kurbağa her $k$ pozitif tam sayısı için $k$-inci adımda, bulunduğu noktanın sağına veya soluna doğru $k$ birim atlıyor. Bu kurbağa en az kaç adımda $100$ noktasına varabilir?

$\textbf{a)}\ 13 \qquad\textbf{b)}\ 14 \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 16 \qquad\textbf{e)}\ 17 $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{C}$

Öncelikle şu yardımcı bilgiyi hatırlayalım
Lemma: $a,b$ birer tam sayı olmak üzere $a+b$ ile $a-b$ nin pariteleri (çitf/tek sayı olma durumları) aynıdır. Bu ifadeleri $\mod 2$ de inceleyerek, Lemma'nın doğruluğunu kolayca görebiliriz.

En az $n$ adımda $100$ noktasına varılabiliyor olsun. Bu durumda kurbağa, tüm adımları sağa (pozitif yöne) doğru atarsa $T=1+2+3+\cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ noktasına gelir. $\dfrac{n(n+1)}{2} \geq 100 $ olmalı. Ayrıca $ \dfrac{n(n+1)}{2}$ ile $100$ ün pariteleri aynı olmalıdır. Yani $\dfrac{n(n+1)}{2}$ de çift sayı olmalıdır. Çünkü bazı terimlerin işareti değiştirilse de paritenin değişmez olduğunu Lemma'dan dolayı biliyoruz.

$n=13$ için $T=91 <100$ olduğundan $n \geq 14 $ olmalıdır.

Fakat $n=14$ için de $T=105$ olup tek sayıdır. $100$ ise çift sayıdır. Parite uyumsuzluğundan dolayı $n \neq 14$.

$n=15$ için $T=120$ çift sayıdır ve paritesi $100$ ile uyumludur. Şimdi tek yapmamız gereken uygun bir örnek durum bulmaktır. Kurbağa $10$. adımı sola (negatif yöne) doğru, diğer adımları sağa doğru atarsa $T=1+2+\cdots +9 - 10 + 11 +\cdots +15 = 100$ noktasına ulaşır.

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninde $s(\widehat{ABC})=45^\circ ,s(\widehat{ADC})=90^\circ, s(\widehat{BAC})=s(\widehat{CAD}), |BC|=2$ ve $|CA|=\sqrt{3}$ ise $|AD|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \sqrt{\dfrac{3}{2}} \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{2} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{2} $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{D}$

$C$ noktasından $AB$ ye inen dikmenin ayağı $H$ olsun. Açıortayın kollarına inen dikmeler eşit uzunlukta olduğundan $|CD|=|CH|$ ve $|AD|=|AH|=x$ diyelim. $BHC$ ikizkenar dik üçgeninde $|BH|=|HC|=\sqrt{2}$ dir. $AHC$ dik üçgeninde $x^2 + 2 = 3$ olup $x=1$ bulunur.

Hem kendisi hem rakamları toplamı hem de rakamları çarpımı asal sayı olan bir pozitif tam sayıya $\textit{asil sayı}$ diyelim. Üç basamaklı en küçük asil sayı ile üç basamaklı en büyük asil sayının toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 424 \qquad\textbf{b)}\ 428 \qquad\textbf{c)}\ 512 \qquad\textbf{d)}\ 622 \qquad\textbf{e)}\ 626 $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{A}$

$abc$ üç basamaklı sayısı için $a\cdot b \cdot c $ asal sayı ise, bu rakamlardan biri asal sayıdır ve diğer ikisi $1$ e eşittir. $a+b+c$ toplamı da asal sayı olduğundan asal rakamı $3,5,7$ den biri olarak seçmeliyiz.

En büyük asil sayı için $711$ incelenirse $9$ ile tam bölünür, asal değildir. $511$ incelenirse $7$ ile tam bölünür, asal değildir. $311$ incelenirse $2,3,5,7,11,13,17$ ile bölünmez, asal sayıdır.

En küçük asil sayı için $113$ incelenirse, asal sayıdır. Bizden istenen toplam $311+113 = 424$ elde edilir.

Bir tabakta $14$ litre süt vardır. Bir kedi birinci dakikada tabaktaki sütün yarısını, ikinci dakikada tabakta kalan sütün $1/3$ ünü, üçüncü dakikada tabakta kalan sütün $1/4$ ünü, $\ldots$, $24$. dakikada tabakta kalan sütün $1/25$ ini içiyor. Tabakta kaç litre süt kalmıştır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{24} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{25} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{5}{72} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{48} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri} $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{B}$

$1.$ dakikada $1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$ kaldı.
$2.$ dakikada $\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{3-1}{2\cdot 3} = \dfrac{1}{3} $ kaldı.
$3.$ dakikada $\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{4}= \dfrac{1}{4} $ kaldı ...vb.

Bu şekilde devam edilirse $n$-inci dakikada $\dfrac{1}{n+1} $ kaldığını anlarız. $n=24$-üncü dakikada sütün $\dfrac{1}{25}$ i kalır.

$20$ takımın katıldığı bir voleybol turnuvasında her gün bir maç yapılıyor ve maçı kaybeden takım turnuvadan eleniyor (voleybol oyununda beraberlik yoktur). Turnuvada bir tek takım kalana dek devam edilirse, tam olarak iki maç kazanan takım sayısı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 8 \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 11 $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{C}$

Hergün $1$ takım elendiği için turnuva $19$ gün sürer. Toplam $19$ maç yapılmış olur. Tam olarak $2$ maç kazanan takım sayısı $n$ olsun. $2n \leq 19$ olup $n \leq 9$ bulunur.

Şimdi $n=9$ durumuna uygun bir örnek bulalım: Takımlar $1,2,3,\dots, 19,20$ olarak numaralansın. $A$ takımı $B$ takımını yenerse $A \to B $ ile gösterelim. Buna göre:

$1 \to 2, 1 \to 3, 4\to 1, 4\to 5, 6\to 4, 6 \to 7, 8 \to 6, 8 \to 9, 10 \to 8, 10 \to 11$

$ 12 \to 10, 12\to 13, 14 \to 12, 14 \to 15, 16 \to 14, 16 \to 17, 18 \to 16, 18 \to 19, 20 \to 18$

istenen özellikte bir durumdur.

Bir $ABCD$ dikdörtgeninde $|AB|=3, |BC|=2$ dir. Yarıçap uzunlukları $2$ olan $A$ merkezli $C_1$ ve $B$ merkezli $C_2$ çemberleri çiziliyor. Hem $C_1$ çemberi hem $C_2$ çemberi hem de $ABCD$ dikdörtgeninin içinde kalan bölgenin alanı $X$ olsun. $ABCD$ dikdörtgeninin içinde kalıp hem $C_1$ çemberinin hem de $C_2$ çemberinin dışında kalan bölgenin alanı $Y$ olsun. Buna göre $X-Y$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \pi-2 \qquad\textbf{b)}\ \pi-3 \qquad\textbf{c)}\ 2\pi-5 \qquad\textbf{d)}\ 2\pi-6 \qquad\textbf{e)}\ 3\pi-8 $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed {D}$

Çevrek dairelerin $X$ alanını içermeyen kısımlarının her birinin alanını $S$ ile gösterelim. Çeyrek dairenin alanından

$X+S = \dfrac{\pi 2^2}{4} = \pi \tag{1}$

ve dikdörtgenin alanından

$X+Y+2S = 2\cdot 3 = 6 \tag{2}$

olur. $(1)$ denklemini $2$ ile, $(2)$ denklemini $-1$ ile çarpıp taraf tarafa toplarsak $X-Y= 2\pi -6$ bulunur.

$x$ ve $y$ pozitif tam sayılar ve $x^{2}y^{2}-80=2xy$ olmak üzere, $x+y$ nin alabileceği faklı değerler toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 18 \qquad\textbf{b)}\ 20 \qquad\textbf{c)}\ 22 \qquad\textbf{d)}\ 24 \qquad\textbf{e)}\ 26 $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{A}$

İfadeyi $(xy)^2-2(xy)-80=0$ biçiminde yazarak çarpanlarına ayırırsak $(xy-10)(xy+8)=0$ olur ve bu eşitliğin sağlanması için $xy=10$ ve $xy=-8$ olmalıdır. İki pozitif tam sayının çarpımı pozitif olacağından $xy\neq -8$ dir. Buna göre $xy=10$ için $x\cdot y=1\cdot10=2\cdot5$ durumları mevcut olduğundan $x+y=1+10=11$ veya $x+y=2+5=7$ dir.
$x+y$ nin alabileceği faklı değerler toplamı $18$ olur.

Bir tahtada soldan sağa doğru $10,a,b,c,d,e,16$ gerçel sayıları yazılıdır. $a, b, c, d, e$ sayılarının her biri tahtada hemen solunda ve hemen sağında yer alan iki sayının ortalamasından $1$ eksiktir. Buna göre $c$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 8 $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{A}$

$x,y,z$ sayıları için $y$ sayısı $x$ ile $z$ nin aritmetik ortalamasından $1$ eksik ise $y=\dfrac{x+z}{2}-1$ denkleminden $2y+2 = x+z$ bulunur. Bu eşitliği verilen sayılar için uygularsak

$ 2a+2 = 10+b \tag{1}$
$ 2b+2 = a+c \tag{2}$
$ 2c+2 = b+d \tag{3}$
$ 2d+2 = c+e \tag{4}$
$ 2e+2 = 16+d \tag{5}$

denklemleri elde edilir. Bu beş denklemi taraf tarafa toplarsak

$ a+e = 16 \tag{6}$

denklemini buluruz. $(1)$ ve $(5)$ denklemlerinin toplamından $2a+2e+4=26+b+d$ olup

$b+d = 10 \tag{7}$

bulunur. Bu değeri $(3)$ denkleminde yazarsak $2c+2=10$ olup $c=4$ bulunur.

Dengede bulunan iki kefeli bir tartının sol kefesinde birkaç kırmızı, sağ kefesinde ise bir beyaz ve birkaç kırmızı taş bulunuyor. Sağ kefedeki taş sayısı sol kefedeki taş sayısından iki fazladır. Her bir kırmızı taşın ağırlığı $8, 29$ veya $57$ gram olduğuna göre, beyaz taşın ağırlığı en az kaç gram olabilir?

$\textbf{a)}\ 14 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 10 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 6 $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{E}$

Sol kefede $8,29,57$ gram ağırlığındaki kırmızı taşların sayısı sırasıyla $a,b,c$; sağ kefedeki kırmızı taşların sayısı da sırasıyla $x,y,z$ olsun. $a+b+c + 1 =x+y+z$ dir. Beyaz taşı ağırlığı $B$ olmak üzere $$ 8a+29b+57c = B + 8x + 29y + 57z $$ olup $$ B = 8(a-x) + 29(b-y) + 57(c-z) $$ yazılır. Burada $a-x=k$, $b-y=l$, $c-z=m$ dersek $$k+l+m=-1 \tag{1}$$ ve $$ B= 8k + 29l + 57m \tag{2} $$ olur. $(2)$ denkleminde $ k= -1-l-m $ yazılırsa $$ B= 21l +49m - 8 \tag{3}$$ elde edilir. Bu denklem $\mod 7$ de incelenirse $ B \equiv -1 \pmod{7}$ dir. $B=6$ en küçük pozitif değerdir.

$B=6$ değerine karşılık diğer bilinmeyenler için uygun değerler kolayca bulunabilir. $l=3,m=-1,k=-3$. Buradan $a-x=-3$, $b-y=3$, $c-z=-1$ dir. $a=0$, $x=3$, $b=3$, $y=0$, $c=0$, $z=1$ örneği bulunabilir.

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB|=11$ ve $|BC|=17$ dir. $[BC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası $|DC|=3$ olacak biçimde alınıyor. $[AC]$ kenarının orta noktası $E$ olmak üzere, $s(\widehat{BDE})=56^\circ$ ise $s(\widehat{ABC})$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 56^\circ \qquad\textbf{b)}\ 60^\circ \qquad\textbf{c)}\ 64^\circ \qquad\textbf{d)}\ 68^\circ \qquad\textbf{e)}\ 72^\circ $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{D}$

$E$ den $[AB]$ na çizilen paralel doğrunun $[BC]$ nı kestiği noktaya $F$ diyelim. $F$ de $[BC]$ nin orta noktası olacağından $|FD|=11/2$ dir. $[EF]$ orta taban olduğundan $|EF|=|BC|/2=11/2$ dir. $|FE|=|FD|$ olup $s(\widehat{FDE})=s(\widehat{FED})=56^\circ$ ve $s(\widehat{DFE})=68^\circ $ dir. $EF \parallel AB$ olduğundan $s(\widehat{DFE})=s(\widehat{ABC})=68^\circ $ olur.

$a, b$ ve $c$ iki basamaklı pozitif tam sayılar olmak üzere, $\text{obeb}(a,b)=2, \text{obeb}(b,c)=7$ ve $\text{obeb}(a,c)=11$ ise, $a+b+c$ toplamının alabileceği en büyük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 228 \qquad\textbf{b)}\ 233 \qquad\textbf{c)}\ 240 \qquad\textbf{d)}\ 252 \qquad\textbf{e)}\ 263 $

Çözüm:

Yanıt : $\boxed{E}$

$x$ ve $y$ tam sayılar olmak üzere, $x \mid y$ gösterimi, $x$ sayısının $y$ sayısını tam olarak böldüğünü ifade eder.

$ 2\mid a , 11\mid a \Rightarrow 22\mid a$ dır. Benzer şekilde, $ 2\mid b , 7\mid b \Rightarrow 14\mid b$ ve $ 7\mid c , 11\mid c \Rightarrow 77\mid c$ olur. Buna göre, $a=88, b=98, c=77$ için $a+b+c=263$ olarak elde edilir.

$x$ bir gerçel sayı olmak üzere, $2^{x+2}-15 \cdot 2^{-x}=4$ ise $2^{x+1}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 8 $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{B}$

$4\cdot 2^x - \dfrac{15}{2^x}=4$ denklemini $2^x$ ile genişletelim. $4\cdot 2^{2x} - 4\cdot 2^x -15=0 $ denkleminde $2^x=t$ dönüşümü yapalım. $t>0$ dır. $4t^2-4t-15=0$ olup $(2t-5)(2t+3)=0$ yazılabilir. Bu denklemin pozitif kökü $t=\dfrac{5}{2}$ dir. $2^x=\dfrac{5}{2}$ ise $2^{x+1}=5$ bulunur.

Başlangıçta bir tahtada $1, 2, \ldots,1000$ sayıları yazılıdır. Aslı ve Zehra sırayla hamleler yaparak bir oyun oynuyorlar. Oyuna ilk Aslı başlıyor ve sırası gelen oyuncu tahtada bulunan sayılardan ikisini siliyor. Tahtada iki sayı kaldığında oyun bitiyor ve Aslı bu kalan iki sayının farkı kadar puan alıyor. Buna göre, Aslı en fazla kaç puan almayı garantileyebilir?

$\textbf{a)}\ 334 \qquad\textbf{b)}\ 470 \qquad\textbf{c)}\ 501 \qquad\textbf{d)}\ 575 \qquad\textbf{e)}\ 601 $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{C}$

Aslı ilk hamlesinde $500$ ve $501$ sayılarını siler. Geriye kalan sayılar $A=\{ 1, 2, \dots, 499 \}$ ve $B=\{ 502, 503, \dots, 1000 \}$ kümelerindedir. Zehra'nın seçtiği sayılar $x,y$ olsun.

$\bullet$ $x,y \in A $ olursa; Aslı, $B$ nin en küçük iki elemanını siler.
$\bullet$ $x,y \in B $ olursa; Aslı, $A$ nın en büyük iki elemanını siler.
$\bullet$ $x \in A $, $y \in B$ olursa; Aslı, $B$ nin en küçük elemanını ve $A$ nın en büyük elemanını siler.

Bu yolla Aslı, $A$ kümesindeki sayıları olabildiğince küçük bırakır, $B$ kümesindeki elemanları da olabildiğince büyük bırakır. Böylece son kalan iki sayının biri $A$ kümesinde, diğeri $B$ kümesinde ve birbirine en uzak durumdadır.
Zehra bu farkın açılmasını engellemek istiyorsa $A$ daki en küçük eleman (örneğin $1$) ile $B$ deki en büyük elemanı (örneğin $1000$'i) silmelidir. Bu halde Aslı'nın elinde kalan son iki sayı $250$ ve $751$ olur. Aslı $751-250=501$ puan almayı garantileyebilir.

$C_1$ ve $C_2$ çemberleri $A$ ve $B$ noktalarında kesişiyor. Bir $\ell$ doğrusu $C_1$ çemberini $C$ ve $F, C_2$ çemberini $D$ ve $G, [AB]$ doğru parçasını da $E$ noktasında kesiyor. Bu noktalar $\ell$ doğrusu üzerinde $C, D, E, F, G$ sırasıyla yer alıyor. $|CD| = 8, |D| = 4$ ve $|FG| = 6$ ise, $|EF|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri} $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{B}$

$|EF|=x$, $|AE|=a$, $|BE|=b$ olsun. $E$ noktasının $C_1$ çemberine göre kuvvetinden $a\cdot b = 12x $ olur. $E$ noktasının $C_2$ çemberine göre kuvvetinden $a\cdot b = 4(x+6) $ olur. Buradan $12x=4(x+6)$ olup $x=3$ bulunur.

$3, 5, 8$ ve $13$ sayılarından kaç tanesi en az bir $n$ pozitif tam sayısı için $3^n+5^n+7^n+11^n$ toplamını tam böler?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 4 $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{C}$

$T=3^n+5^n+7^n+11^n$ diyelim. $n=1$ için $T=3+5+7+11=26$ olup $13$'e bölünür. $n=2$ için $T=9+25+49+121$ olup $3$'e bölünür.

Şimdi $n$ pozitif tam sayı iken $T=3^n+5^n+7^n+11^n$ toplamının asla $5$'e, $8$'e bölünemediğini gösterelim.

Önce $T$ nin $5$ ile bölünemediğini gösterelim. $T \equiv 3^n+0+2^n+1 \pmod{5}$ tir. $n=1,2,3,4$ değerleri için sırasıyla $2^n \equiv 2,4,3,1 \pmod{5}$ ve $3^n \equiv 3,4,2,1 \pmod{5}$ dir. Dolayısıyla $n=1,2,3,4$ değerleri için sırasıyla $T \equiv 1,4,1,3 \pmod{5}$ olmaktadır. Yani $T$, $5$ ile bölünmüyor.

Şimdi de $T$ nin $8$ ile bölünemediğini gösterelim. $n=2k+1$ tek sayısı için $T=3^{2k+1}+5^{2k+1}+7^{2k+1}+11^{2k+1} \equiv 3 + 5 + 7 + 3 \pmod{8} \equiv 2 \pmod{8}$ olur. Yani $n$ tek sayı iken $T$, $8$ ile bölünemez. $n=2k$ çift sayısı için $T=3^{2k}+5^{2k}+7^{2k}+11^{2k} \equiv 1 + 1 + 1 + 1 \pmod{8} \equiv 4 \pmod{8}$ olur. Yani $n$ çift sayı iken de $T$, $8$ ile bölünemez.

Dolayısıyla $3,5,8,13$ sayılarından $2$ tanesinin $T$ toplamını bölmesini sağlayan $n$ pozitif tam sayıları vardır.

Ahmet ve Burak aynı anda düz bir yolda sabit hızlarla yürümeye başlıyorlar. Ahmet dakikada $a$ birim yol alırken Burak dakikada $a + 1$ birim yol alıyor. Burak'ın $10$ birim yol katettiği andan iki dakika sonra Ahmet $9$ birim yol katetmiş oluyor. Buna göre $a$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{3} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{2} \qquad\textbf{c)}\ 1 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{3}{2} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{5}{2} $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{D}$

$\text{Zaman} = \dfrac{ \text{Yol}}{\text{Hız}} $ olduğundan $\dfrac{10}{a+1}+2=\dfrac{9}{a}$ olur. Denklem düzenlenirse $2a^2 +3a -9=0$ olup $(2a-3)(a+3)=0$ yazılabilir. Buradan pozitif çözüm $a=\dfrac{3}{2}$ elde edilir.

Başlangıçta hiçbir birim karesi boyalı olmayan $8\times 8$ bir tahtanın her birim karesi kırmızı veya maviye, tahtanın birim karelerinden oluşan her $2\times 2$ karede çift sayıda kırmızı birim kare bulunacak biçimde kaç farklı şekilde boyanabilir?

$\textbf{a)}\ 32768 \qquad\textbf{b)}\ 40672 \qquad\textbf{c)}\ 46464 \qquad\textbf{d)}\ 65536 \qquad\textbf{e)}\ 73728 $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{A}$

Sol üstteki $2\times 2$ türündeki kare $8$ farklı yolla boyanabilir. Bu $2\times 2$ türündeki karenin $1$ birim sağındaki $2\times 2$ türündeki $2$ yolla, $1$ birim altındaki $2\times 2$ türündeki kare $2$ yolla boyanabilir. Bu şekilde sol üstteki $2\times 2$ türündeki başlangıç karesinin sağındaki ve altındaki kareleri $2$ şer yolla boyanabilir, geriye kalan $6\times 6$ türündeki kısım tek yolla boyanır. Böylece $8\cdot 2^6 \cdot 2^6 = 2^{15}=32768 $ farklı boyama yapılabilir.

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninde $AC$ köşegeni $\widehat{DAB}$ ve $\widehat{BCD}$ açılarının iç açıortayıdır. $\widehat{ABC}$ ve $\widehat{CDA}$ açılarının iç açıortayları arasındaki dar açı $40^\circ$ ise, $\widehat{ABC}$ açısının iç açıortayı ile $AC$ köşegeni arasındaki dar açı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 50^\circ \qquad\textbf{b)}\ 55^\circ \qquad\textbf{c)}\ 60^\circ \qquad\textbf{d)}\ 65^\circ \qquad\textbf{e)}\ 70^\circ $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{E}$

$[AC]$ simetri ekseni olduğundan $ABCD$ bir deltoiddir. Böylece $ABED$ dörtgeni de bir deltoid olup $s(\widehat{AED})=s(\widehat{AEB})=x$ diyebiliriz. $2x+40^\circ = 180^\circ $ denkleminden $x=70^\circ $ bulunur.

Rakamlarının yeniden sıralanması sonucu bir tam kare elde edilebilen bir pozitif tam sayıya $\textit{karesel sayı}$ diyelim.Örneğin, $7416$ sayısının rakamları yeniden sıralanarak $1764 = 42^2$ sayısı elde edilebildiğinden $7416$ bir karesel sayıdır. $2345, 3456, 5678$ ve $6731$ dört basamaklı pozitif tam sayılarından kaç tanesi karesel sayıdır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 4 $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{B}$

Önce iyi bilinen bir lemmayı ispatlayalım.
Lemma: Herhangi bir tam sayının karesinin $3$ ile bölümünden kalan ya $0$ ya da $1$ olabilir. Kalan $2$ olamaz.

İspat: $x \in \mathbb Z$ olmak üzere $x \equiv 0, 1, 2 \pmod{3}$ durumları mümkündür. Her bir $x$ değeri için sırasıyla $x^2 \equiv 0, 1, 1 \pmod{3} $ elde edilir. $x^2 \not \equiv 2 \pmod{3}$ bulunur.

Bu lemmaya göre $2345 \equiv 2 \pmod{3}$, $5678 \equiv 2 \pmod{3}$, $6731 \equiv 2 \pmod{3}$ olduğundan bu sayılar ve bu sayıların rakamlarının yer değiştirmesiyle elde edilen sayılar tam kare olamaz.

$3456$ sayısının rakamları yeniden sıralanarak $4356=66^2$ yazılabildiğinden yalnızca $1$ tane karesel sayı bulunur.

$a_1(a_{1}-4) +a_2(a_{2}-4) + \cdots + a_{24}(a_{24}-4) = -95$ eşitliğini sağlayan kaç farklı $(a_1, a_2, \ldots, a_{24})$ tam sayı $24$-lüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 24 \qquad\textbf{b)}\ 36 \qquad\textbf{c)}\ 48 \qquad\textbf{d)}\ 60 \qquad\textbf{e)}\ 72 $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{C}$

$n=1,2,\dots, 24$ için $a_n^2 -4a_n = (a_n - 2)^2 - 4$ yazarak tam kareye tamamlayalım. Verilen denklem $$ (a_1 - 2)^2 + (a_2 - 2)^2 + \cdots + (a_{24} - 2)^2 = - 95 + 24\cdot 4 = 1 $$ olur. Bu halde tam karelerden birisi $1$'e eşit ve diğerleri $0$'a eşit olmalıdır. Örneğin $(a_1 - 2)^2 =1$ durumunda $a_1=3$ veya $a_1=1$ dir. Diğer değerler ise $a_2=a_3=\cdots=a_{24}=0$ olur. Böylece her bir tam kareyi $1$'e eşitleyerek $2$ çözüm bulunabildiğinden toplam $2\cdot 24 = 48$ tane çözüm elde edilir.

$12\times 12$ bir tahtanın $k$ birim karesine herhangi ikisi birbirinden farklı olan birer tam sayı yazılmıştır. Ortak bir kenara veya köşeye sahip iki birim kare $\textit{komşu}$ kabul ediliyor. Tahtada yazılı olan her bir sayı, bulunduğu kareyle komşu olan birim karelerdeki sayıların en fazla birinden küçükse, $k$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 64 \qquad\textbf{b)}\ 72 \qquad\textbf{c)}\ 84 \qquad\textbf{d)}\ 90 \qquad\textbf{e)}\ 108 $

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{B}$

$2\times 2$ türündeki bir kısımda en fazla $2$ birim kareye sayı yazılabileceğini gösterelim. $2\times 2$ türündeki karenin $3$ hücresine $a,b,c$ gibi birbirinden farklı üç sayı yazılması durumunda; $a<b<c$ ise $a$, hem $b$'den hem de $c$'den küçük olmuş oluyor ki bu istenmiyordu. $2\times 2$ türündeki her bir kareye en fazla $2$ sayı yazılabilir. $12\times 12$ türündeki bir tahtada $\dfrac{144}{4} = 36$ tane ayrık durumlu $2\times 2$ türünde kare vardır. Böylece en fazla $36\cdot 2 = 72$ kareye sayı yazılabilir.

$72$ için örnek durum vardır: $12\times 12$ türündeki tahtanın $1,3,5,7,9$ ve $11$-inci satırlarındaki tüm karelere sayılar yazılabilir.