Geomania.Org Forumları

$BC$ ve $AD$ kenarları paralel olmayan bir $ABCD$ kirişler dörtgeninin çevrel çemberinin iç bölgesinde, $AB$ doğrusuna göre $C$ ile ters tarafta kalan bir $E$ noktası verilmiştir. $DE$ ve $AB$ doğruları $F$ noktasında kesişiyor. $AEF$ üçgeninin çevrel çemberine $E$ noktasında teğet olan doğru üzerinde olup $ABCD$ dörtgeninin iç bölgesinde yer alan bir $G$ noktası için,$$\angle GAD = \angle BAE$$ve$$\angle GCB + \angle GAB = \angle EAD + \angle AGD + \angle ABE$$ise, $BC$, $AD$ ve $EG$ doğrularının bir noktada kesiştiklerini gösteriniz.

$m^2+n^2 = 2018(m-n)$ denklemini sağlayan tüm $(m,n)$ pozitif tam sayı ikililerini bulunuz.

$2018\times2018$ bir satranç tahtasının her birim karesi kırmızı ve beyaz renkten birine, herhangi iki satırdaki kırmızı birim kare sayıları farklı ve herhangi iki sütundaki kırmızı birim kare sayıları farklı olmak şartıyla kaç farklı şekilde boyanabilir?

$n$ öbeğin her biri, her birinin ağırlığı $1,2,\ldots,25$ gramdan birine eşit olan $2018$ taştan oluşmaktadır. Bütün öbeklerdeki toplam taş ağırlıkları farklıdır. Herhangi iki öbek için, içerdikleri en hafif taş ve en ağır taş çıkarıldığında önceden daha hafif olan öbek diğerinden daha ağır oluyorsa, $n$'nin alabileceği en büyük değer nedir?

Tüm $x$, $y$ ve $z$ pozitif gerçel sayıları için$$\dfrac{x^2+1}{(x+y)^2+4(z+1)}+\dfrac{y^2+1}{(y+z)^2+4(x+1)}+\dfrac{z^2+1}{(z+x)^2+4(y+1)}\ge\dfrac{1}{2}$$olduğunu gösteriniz.

$f$ : $\mathbb Z^+\rightarrow \mathbb Z^+$ birebir ve örten bir fonksiyon olmak üzere,


ancak ve ancak


olduğunu gösteriniz.