Tübitak Lise 2. Aşama - 2017

$25$ çeşit yemeğiyle ünlü bir $A$ köyünde yapılacak bir düğün için $2017$ kişinin yaşadığı komşu $B$ köyünden düğüne bazı kişiler davet edilecektir. $B$ köyündeki her bir kişi bu $25$ çeşit yemekten en az birini sevmektedir ve her yemek için $B$ köyünde o yemeği seven en az bir kişi bulunmaktadır. $B$ köyünden düğüne davet edilen kişilerin kümesine, her bir yemek davet edilen en az bir kişi tarafından seviliyorsa, uygun davetli listesi diyelim. Her uygun davetli listesinden en az bir eleman içeren bir kümeye ise kamber grubu diyelim. Kendisi dışında hiçbir altkümesi kamber grubu olmayan herhangi bir kamber grubundaki herkesin sevdiği bir yemek bulunduğunu gösteriniz.

Karşılıklı kenarları paralel olmayan bir $ABCD$ dörtgeninde $AB$ ile $CD$ doğruları $X$ de kesişiyor. $A$ merkezli $r_1$ yarıçaplı çember ile $D$ merkezli $r_2$ yarıçaplı çember $P$ ve $Q$ da, $B$ merkezli $r_1$ yarıçaplı çember ile $C$ merkezli $r_2$ yarıçaplı çember $R$ ve $S$ de kesişiyor.$$|XA|\cdot|XB|+{r_1}^2 = |XC|\cdot|XD|+{r_2}^2$$ise, $P,Q,R,S$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.

$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere $a_{11}, a_{12},\ldots, a_{nn}$ pozitif gerçel sayıları her $i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$ için $a_{ij}\cdot a_{ji}=1$ koşulunu sağlıyor. $c_i=\sum_{k=1}^{n} a_{ki}$ olmak üzere,$$\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{c_i}\le1$$olduğunu gösteriniz.

$d(a)$ ile $a$ pozitif tam sayısının farklı asal bölenlerinin sayısını gösterelim. Her $n$ pozitif tam sayısı için $k-m=n$ ve $d(k)-d(m)=1$ şartlarını sağlayan $k,m$ pozitif tam sayılarının bulunabileceğini gösteriniz.

Azalmayan bir $x_0,x_1,\cdots,x_{2017}$ pozitif tam sayı dizisinde $x_0=1$ ve $x_1,x_2,\ldots,x_{2017}$ altdizisi tam olarak $25$ farklı pozitif tam sayı içeriyor.$$\sum_{i=2}^{2017}x_i(x_i-x_{i-2})\ge623$$olduğunu gösteriniz. Eşitliği sağlayan dizilerin sayısını bulunuz.

Her biri $2017$ br uzunluğunda olan sonlu sayıda çubuk bir levhanın üzerinde dikey olarak çakılı halde bulunuyor. Bu çubukların her birinin üzerinde serbestçe kaydırılabilen bir boncuk bulunuyor. Bazı boncuk ikilileri lastik parçalarıyla birbirlerine birleştirilmiştir. Bu düzenekte ayrıca, tüm lastik parçaları üzerinde yürüyebilen bir adet Genç Karınca ve sadece uçlarındaki boncukların yükseklikleri arasında $1$ br fark bulunan lastik parçaları üzerinde yürüyebilen bir adet Yaşlı Karınca bulunuyor. Genç Karınca lastikleri kullanarak her boncuktan her boncuğa ulaşabiliyor.

Her boncuğun yerden yüksekliğinin tam sayı olduğu ve her lastik parçasının uçlarındaki boncukların farklı yüksekliklerde bulunduğu durumlara geçerli durum diyelim. Bu düzenekte en az bir geçerli durum varsa Yaşlı Karıncanın her boncuktan her boncuğa ulaşabildiği en az bir geçerli durum olduğunu gösteriniz.