Uluslararası Matematik Olimpiyatı

Her $a_0>1$ tam sayısı için $a_0,a_1,a_2,\ldots$ dizisi şu şekilde tanımlanıyor:

her $n\ge0$ için $a_{n+1} =
\begin{cases}
\sqrt{a_n} & \text{eğer } \sqrt{a_n} \text{ tam sayı ise} \\
a_n + 3 & \text{diğer durumda}
\end{cases}$

$a_0$ ın hangi değerleri için öyle bir $A$ tam sayısı vardır ki sonsuz çoklukta $n$ değeri için $a_n=A$ olsun?

Çözüm:

Sorudaki şart için $3|a_0$ olması gerek ve yeterlidir.

$3|a_0$ olsun. $a_0\geq 9$ ise serinin $3,6,9$ döngüsüne gireceği açıktır. $a_0>9$ olsun, $(3k-3)^2<a_0<(3k)^2$ olmak üzere $k>1$ ise serideki sonraki tamkare $(3k)^2$ den sonraki terim $3k<(3k-3)^2$ olacaktır, yani seri her tamkareye vurduktan sonra önceki aldığı değerlerden daha düşük bir değere varmaktadır, bu da pozitif tamsayılarda sonlu kez tekrarlanabileceğinden bir süre sonra $k=1$ olur, dizi $3,6,9$ döngüsüne girer.

Dizinin bir terimi $3k+2$ formatında olursa dizinin sürekli artmaya başlayacağı, dolayısıyla sonsuz kez geçen bir terim bulunamayacağı açıktır. Şimdi dizide $3k+1$ formatında bir terim varsa $3k+2$ formatında bir terim de bulunacağını gösterelim.

$(3k)^2<a_t$ olan en büyük $k$ sayısını alalım. Eğer dizideki bir sonraki tamkare $(3k+2)^2$ ise sonraki terim $3k+2$ olur, istenen elde edilir. Eğer $(3k+1)^2$ ve $k>1$ ise $3k+1<(3k-3)^2$ olur, benzer şekilde bu küçültmeyi sonlu kez uygulayabileceğimizden bir süre sonra $k=1$, $a_x=16$, $a_{x+2}=2$ olur, istenen elde edilir ve ispat biter.

Gerçel sayılar kümesi $\mathbb R$ ile gösterilsin. Tüm $x,y$ gerçel sayıları için$$f\left(f(x)f(y)\right)+f(x+y)=f(xy)$$eşitliğini sağlayan tüm $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ fonksiyonlarını bulunuz.

Bir avcı ve bir görünmez tavşan düzlemde bir oyun oynuyorlar. Tavşanın başlama noktası $A_0$ ile avcının başlama noktası $B_0$ aynıdır. Oyunun $(n-1)$'inci turunun sonunda tavşan $A_{n-1}$ noktasında, avcı ise $B_{n-1}$ noktasında bulunsun. Oyunun $n$'inci turunda, şu üç işlem sırayla gerçekleşiyor:

Tavşan $A_{n-1}$ noktasına tam olarak $1$ birim uzaklıkta bulunan bir $A_n$ noktası seçip görünmez kalarak $A_n$ ye yerleşiyor.
Bir takip cihazı avcıya bir $P_n$ noktası bildiriyor. Takip cihazının avcıya verdiği tek garanti $P_n$ ile $A_n$ arasındaki uzaklığın $1$ birimden fazla olmadığıdır.
Avcı $B_{n-1}$ noktasına tam olarak $1$ birim uzaklıkta bulunan bir $B_n$ noktası seçip görünür kalarak $B_n$ ye yerleşiyor.

Tavşan nasıl hareket ederse etsin ve takip cihazı hangi noktaları bildirirse bildirsin, avcı kendi hareketlerini öyle seçebilir mi ki $10^9$ tur sonunda kendisiyle tavşan arasındaki uzaklığın $100$ den fazla olmayacağını garantilesin?

Bir $\Omega$ çemberi üzerinde birbirinden farklı $R$ ve $S$ noktaları $RS$ çap olmayacak şekilde alınıyor. $\Omega$ ya $R$ de teğet olan doğru $\ell$ olsun. $T$ noktası, $[RT]$ doğru parçasının orta noktası $S$ olacak şekilde alınıyor. $\Omega$ nın kısa $RS$ yayı üzerinde bir $J$ noktası, $JST$ üçgeninin çevrel çemberi $\Gamma$ ile $\ell$ doğrusu iki farklı noktada kesişecek şekilde alınıyor. $\Gamma$ ve $\ell$ in kesişim noktalarının $R$ ye daha yakın olanı $A$ olsun. $AJ$ doğrusu $\Omega$ yı ikinci kez $K$ da kessin. $KT$ nin $\Gamma$ ya teğet olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

Öncelikle $RK // AT$ olduğunu gösterelim. $JSTA$ kirişler dörtgeni olduğundan $\angle STA = \alpha$ dersek $\angle KJS = \alpha$ olur. Aynı yayı gören çevre açılar eşit olduğundan $\angle KRS= \alpha$ olur. Sonuç olarak $RK // AT$

Şimdi $PT // RA$ olacak biçimde bir $P$ noktası alalım. Bu durumda $PTAR$ paralelkenar olur. $S$ noktasında köşegenler kesişeceğinden $A,S,P$ noktaları doğrusaldır ve paralelkenarın diğer köşegenidir.

$\angle RKS = \beta$ diyecek olursak teğet kiriş açıdan $\angle SRA = \beta$ olur. Şekil paralelkenar olduğundan $\angle PTR = \beta$ olur. $\angle PKS = 180 - \beta$ olduğundan $PKST$ çemberseldir. Bu durumda $\angle KTS = \theta = \angle KPS = \angle PAT$ olacaktır. Bu ise ispatı bitirir.

$N\ge2$ verilmiş bir tam sayı olsun. Herhangi ikisinin boyları birbirinden farklı olan $N(N+1)$ futbolcu bir şekilde yan yana sıraya dizilmiştir. Takımın antrenörü bu sıradan $N(N-1)$ futbolcuyu öyle çıkarmak istiyor ki geriye kalan $2N$ futbolcudan oluşan yeni sıra aşağıdaki $N$ adet şartı sağlasın:

$\quad (1)$ En uzun futbolcu ile ikinci en uzun futbolcu arasında kimse olmayacak,

$\quad (2)$ Üçüncü en uzun futbolcu ile dördüncü en uzun futbolcu arasında kimse olmayacak,

$\quad \;\;\vdots$

$\quad (N)$ İkinci en kısa futbolcu ile en kısa futbolcu arasında kimse olmayacak.

Antrenörün bunu her zaman yapabileceğini gösteriniz.

Çözüm:

Oyuncuların boy sıralamalarını düşünelim, kısadan uzuna her biri $N+1$ kişi içeren $N$ gruba ayıralım. Şimdi solda sağa dizilişteki ilk kişilere bakalım, aynı gruptan iki kişi bulduğumuz anda duralım, bu iki kişiyi seçelim, geldiğimiz yere kadar olan kişileri, bu iki kişinin bulunduğu gruptaki kalan kişileri atalım. Gözlemleyelim ki bazı boy gruplarından $1$ kişi attık, bazılarından hiç atmadık. Hiç atmadıklarımızdan da rastgele seçtiğimiz bir kişiyi atalım.

Tam olarak $2N$ kişi atmış oluruz, ayrıca başta oluşturduğumuz $N$ boy grubundan $N-1$ tanesi $N$ kişiyle hala durmaktadır, dolayısıyla tümevarımsal olarak aynı işlemi tekrarlarsak her boy grubundan bir ikiliyi sırada birbiriyle kesişmeyecek şekilde seçmiş oluruz, ispat biter.

$x$ ve $y$ tam sayıları aralarında asalsa $(x,y)$ sıralı ikilisine temel ikili diyelim. Sonlu sayıda temel ikiliden oluşan herhangi bir $S$ kümesi verilmiş olsun. Aşağıdaki şartı sağlayan bir $n$ pozitif tam sayısı ve $a_0, a_1, \ldots , a_n$ tam sayıları bulunabileceğini gösteriniz:

$S$ deki her $(x,y)$ için $a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots + a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1$ dir.

Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 2017 Çözümleri