Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 2017

Her $a_0>1$ tam sayısı için $a_0,a_1,a_2,\ldots$ dizisi şu şekilde tanımlanıyor:


$a_0$ ın hangi değerleri için öyle bir $A$ tam sayısı vardır ki sonsuz çoklukta $n$ değeri için $a_n=A$ olsun?

Gerçel sayılar kümesi $\mathbb R$ ile gösterilsin. Tüm $x,y$ gerçel sayıları için$$f\left(f(x)f(y)\right)+f(x+y)=f(xy)$$eşitliğini sağlayan tüm $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ fonksiyonlarını bulunuz.

Bir avcı ve bir görünmez tavşan düzlemde bir oyun oynuyorlar. Tavşanın başlama noktası $A_0$ ile avcının başlama noktası $B_0$ aynıdır. Oyunun $(n-1)$'inci turunun sonunda tavşan $A_{n-1}$ noktasında, avcı ise $B_{n-1}$ noktasında bulunsun. Oyunun $n$'inci turunda, şu üç işlem sırayla gerçekleşiyor:

• Tavşan $A_{n-1}$ noktasına tam olarak $1$ birim uzaklıkta bulunan bir $A_n$ noktası seçip görünmez kalarak $A_n$ ye yerleşiyor.
• Bir takip cihazı avcıya bir $P_n$ noktası bildiriyor. Takip cihazının avcıya verdiği tek garanti $P_n$ ile $A_n$ arasındaki uzaklığın $1$ birimden fazla olmadığıdır.
• Avcı $B_{n-1}$ noktasına tam olarak $1$ birim uzaklıkta bulunan bir $B_n$ noktası seçip görünür kalarak $B_n$ ye yerleşiyor.

Tavşan nasıl hareket ederse etsin ve takip cihazı hangi noktaları bildirirse bildirsin, avcı kendi hareketlerini öyle seçebilir mi ki $10^9$ tur sonunda kendisiyle tavşan arasındaki uzaklığın $100$ den fazla olmayacağını garantilesin?

Bir $\Omega$ çemberi üzerinde birbirinden farklı $R$ ve $S$ noktaları $RS$ çap olmayacak şekilde alınıyor. $\Omega$ ya $R$ de teğet olan doğru $\ell$ olsun. $T$ noktası, $[RT]$ doğru parçasının orta noktası $S$ olacak şekilde alınıyor. $\Omega$ nın kısa $RS$ yayı üzerinde bir $J$ noktası, $JST$ üçgeninin çevrel çemberi $\Gamma$ ile $\ell$ doğrusu iki farklı noktada kesişecek şekilde alınıyor. $\Gamma$ ve $\ell$ in kesişim noktalarının $R$ ye daha yakın olanı $A$ olsun. $AJ$ doğrusu $\Omega$ yı ikinci kez $K$ da kessin. $KT$ nin $\Gamma$ ya teğet olduğunu gösteriniz.

$N\ge2$ verilmiş bir tam sayı olsun. Herhangi ikisinin boyları birbirinden farklı olan $N(N+1)$ futbolcu bir şekilde yan yana sıraya dizilmiştir. Takımın antrenörü bu sıradan $N(N-1)$ futbolcuyu öyle çıkarmak istiyor ki geriye kalan $2N$ futbolcudan oluşan yeni sıra aşağıdaki $N$ adet şartı sağlasın:

$\quad  (1)$ En uzun futbolcu ile ikinci en uzun futbolcu arasında kimse olmayacak,

$\quad  (2)$ Üçüncü en uzun futbolcu ile dördüncü en uzun futbolcu arasında kimse olmayacak,

$\quad \;\;\vdots$

$\quad (N)$ İkinci en kısa futbolcu ile en kısa futbolcu arasında kimse olmayacak.

Antrenörün bunu her zaman yapabileceğini gösteriniz.

$x$ ve $y$ tam sayıları aralarında asalsa $(x,y)$ sıralı ikilisine temel ikili diyelim. Sonlu sayıda temel ikiliden oluşan herhangi bir $S$ kümesi verilmiş olsun. Aşağıdaki şartı sağlayan bir $n$ pozitif tam sayısı ve $a_0, a_1, \ldots , a_n$ tam sayıları bulunabileceğini gösteriniz: