Tübitak Ortaokul 1. Aşama - 2017

$6054$ basamaklı $ A= \underbrace{111 \dots 1}_{2017} \underbrace{222 \dots 2}_{2018}5 \underbrace{000 \dots 0}_{2018} $ sayısı veriliyor. $\sqrt{A}$ sayısının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6056 \qquad\textbf{b)}\ 6055 \qquad\textbf{c)}\ 6054 \qquad\textbf{d)}\ 6045 \qquad\textbf{e)}\ 6040 $

$105^9$ doğal sayısının pozitif bölenlerinin kaç tanesi $9$, $25$, $49$ sayılarından en az ikisine tam bölünür?

$\textbf{a)}\ 512 \qquad\textbf{b)}\ 726 \qquad\textbf{c)}\ 846 \qquad\textbf{d)}\ 896 \qquad\textbf{e)}\ 1308 $

$ABCD$ dikdörtgeninin $[AB]$ kenarı $x$-ekseni üzerindedir. Dikdörtgenin $C$ ve $D$ noktaları sırasıyla $x-2y=-4$, $x+3y=6$ doğruları üzerindedir. Ayrıca $C$ noktası koordinat düzleminin birinci bölgesindedir. $ABCD$ dörtgeninin çevresi $16$ birim ise, alanı kaç birimkaredir?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 14 \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{31}{2} \qquad\textbf{e)}\ 16 $

$\left. \begin{array}{lcr}  xy + 3zw & = & 1 \\ xz -yw & = & 2 &  \end{array}\right\}$

sistemini gerçekleyen tüm $(x,y,z,t)$ tamsayı dörtlülerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 8 $

$xyz$ rakamları farklı üç basamaklı bir tek sayıdır. Kenar uzunlukları $x$, $y$, $z$ olan bir üçgen çizilebildiğine göre üç basamaklı tüm $xyz$ sayılarının sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 84 \qquad\textbf{b)}\ 90  \qquad\textbf{c)}\ 100 \qquad\textbf{d)}\ 104 \qquad\textbf{e)} 123 $

Üç farklı rakamdan oluşan beş basamaklı kaç farklı şifre oluşturulabilir? (Şifre sıfır ile de başlayabilir.)

$ \textbf{a)}\ 6000 \qquad\textbf{b)}\ 18000  \qquad\textbf{c)}\ 24600 \qquad\textbf{d)}\ 28800 \qquad\textbf{e)}\ 36000 $

Tabanı $|BC|=a$ olan $ABC$ ikizkenar üçgeninde, $D$ ve $E$ sırasıyla $BC$ ve $AC$ kenarlarının orta noktalarıdır. $|AD|=|DE|$ ise $Alan(ABC)=?$

$\textbf{a)}\ \dfrac{a^2 \sqrt3}{6}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{a^2 \sqrt3}{8}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{a^2 \sqrt3}{9} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{a^2 \sqrt3}{12}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{a^2}{4}$

$x,y,z,w$ negatif olmayan tam sayılardır.

             $x^2+y^2+z^2+w^2=28$

denklemini gerçekleyen tüm $(x,y,z,w)$ dörtlülerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 10  \qquad\textbf{e)}\ 12$

$a$ ve $b$ sıfırdan farklı tamsayılardır. $(a^2-b)(a-b^2)=(a+b)^3$ denklemini gerçekleyen kaç farklı $(a,b)$ ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$

$25$ adet özdeş bilye, $25$ adet özdeş kalem, $25$ adet özdeş silgi ve $25$ adet özdeş defter $2$ kişi arasında ve her birinde $50$ adet olacak şekilde kaç farklı biçimde paylaştırılır?

$\textbf{a)}\ 11726  \qquad\textbf{b)}\ 11701  \qquad\textbf{c)}\ 11676 \qquad\textbf{d)}\ 11600  \qquad\textbf{e)}\ 11566$

Tepe açısı $A$ olan $ABC$ ikizkenar üçgeninde $BC,AC,AB$ kenarları üzerindeki açı ortay ayakları sırasıyla $P,R,S$ olsun. $P,R,A,S$ noktalarından bir çember geçmektedir. $|BC|=2$ ise $|AB|=?$

$\textbf{a)}\ \dfrac{\sqrt{17}-1}{2}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt{17}-2}{2}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac32 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac54  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{\sqrt{17}+1}{4}$

$f(2)=1$ ve $\forall n = 1,2,3,4, ...$  için $f(2n)=2f(n), \quad f(2n+1)=2f(n)+1$ ise $f(121)=?$

$\textbf{a)}\ 83  \qquad\textbf{b)}\ 85  \qquad\textbf{c)}\ 87 \qquad\textbf{d)}\ 89  \qquad\textbf{e)}\ 95$

$1333555557777777999999999 \underbrace{11...11}_{\text{11 tane 11}} \underbrace{13...13}_{\hspace{0.1cm} \text{13 tane 13}}...$

biçiminde devam eden sayının soldan $2017$ nci rakamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$

$A= \Big \{(x_1,x_2,x_3,...,x_{2017})$ : $k=1,2,3,...,2017$ için $x_k \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} \Big \}$ kümesinin elemanlarının kaç tanesinde tek sayıda $5$ rakamı vardır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{10^{2016}+8^{2017}}{2}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{10^{2016}-8^{2016}}{2}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{10^{2017}-8^{2017}}{2} \qquad\textbf{d)}\ 10 \cdot 9^{2017}  \qquad\textbf{e)}\ 9^{2018}$

O merkezli, çapı $|AB|=12$ olan bir çember veriliyor. $A$ ve $B$ noktalarında bu çembere dıştan teğet $r=2$ yarıçaplı iki çember çiziliyor. $A$ ve $B$ noktalarından geçen $AB$ doğrusu üzerinde $|KO|=|OL|=12$ olacak şekilde birbirinden farklı $K$ ve $L$ noktaları alınıyor. $K$ noktasından $L$ noktasına çemberlerin içinden geçmeyen en kısa mesafe kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4 \pi + 8 \sqrt3  \qquad\textbf{b)}\ 4 \pi + 10 \sqrt3  \qquad\textbf{c)}\ 3 \pi + 10 \sqrt3 \qquad\textbf{d)}\ \pi + 14 \sqrt3  \qquad\textbf{e)}\ 2 \pi +12 \sqrt3$

$\dfrac1x-\dfrac1y=\dfrac19$ denklemini sağlayan kaç farklı $(x,y)$ pozitif tam sayı ikilileri vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 7$

Dört basamaklı bir sayının birler basamağı silindiğinde tam kare olan üç basamaklı bir sayı elde edilmektedir, ayrıca bu sayının binler basamağı silindiğinde de tam kare olan üç basamaklı bir sayı elde edilmektedir. Bu özelliklere sahip dört basamaklı kaç farklı doğal sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$

Rakamları toplamı $25$ olan $6$ basamaklı sayıların kaç tanesinin birler, onlar ve yüzler basamağındaki rakamlar $5$'ten küçük iken diğer basamaklardaki rakamları en az $5$ olmaktadır?

$\textbf{a)}\ 1506  \qquad\textbf{b)}\ 1680  \qquad\textbf{c)}\ 1920 \qquad\textbf{d)}\ 2766  \qquad\textbf{e)}\ 3003$

$s(\hat A)=60^{\circ}$ olan $ABC$ üçgeninin $|AB|<|AC|$ dir. $BD$ ve $CE$ açı ortay olacak şekilde $AC$ ve $AB$ kenarları üzerinde sırasıyla $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $BD$ ve $CE$ kenarlarının kesişimi $F$ ise $\dfrac{|DF|}{|EF|}=?$

$\textbf{a)}\ \sqrt{\dfrac32}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt3}{2}  \qquad\textbf{c)}\ 1 \qquad\textbf{d)}\ \sqrt2  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt3$

$x+\dfrac1x=1$ ise $x^{2017}+x^{3017}-x^{4017}=?$

$\textbf{a)}\ -2  \qquad\textbf{b)}\ -1  \qquad\textbf{c)}\ 0 \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ 2$

$A=1 \cdot 2017+3 \cdot 2015+5 \cdot 2013+ \cdots +2013 \cdot 5+2015 \cdot 3+2017 \cdot 1$ olmak üzere $A+1009 \cdot 2019$ toplamının farklı asal bölenlerinin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1454  \qquad\textbf{b)}\ 1457  \qquad\textbf{c)}\ 1468 \qquad\textbf{d)}\ 1505  \qquad\textbf{e)}\ 1508$

Bir torbada $1$’den $10$’a kadar numaralanmış aynı büyüklükte $10$ top vardır. Ali torbadan rastgele bir top çekip, numarasının $x$ olduğunu söylüyor ve torbaya geri atıyor. Sonra Ayşe torbadan rastgele bir top çekiyor ve numarasının $y$ olduğunu söylüyor ($y$, $x$ de olabilir). Bu durumda $6<|3x-2y|<18$ eşitsizliğinin gerçekleşmesi olasılığı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{9}{20}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{47}{100}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{11}{20} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{61}{100}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{18}{25}$

$|AB|=8$, $|BC|=6$ olan $ABCD$ dikdörtgeni veriliyor. $ACD$ üçgeninin $O$ merkezli iç teğet çemberi çiziliyor. $O$ merkezli çemberine ve $AB$, $AC$ doğrularına teğet olan çemberin yarıçapı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac32  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac54  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac43 \qquad\textbf{d)}\ \sqrt3  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{\sqrt5}{2}$

$\left. \begin{aligned}
x^2+y^2- \dfrac{2xy}{x-y}=1\\
\sqrt{x-y}=x^2+5y
\end{aligned}
\right \}$

sistemini gerçekleyen $(x,y)$ gerçel sayı ikilileri içinde $x \cdot y$ çarpımının maksimum değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 18 \qquad\textbf{d)}\ 42  \qquad\textbf{e)}\ 48$

Ali evdeki geri alınmış saate göre 07:42 de evden ayrılıp, sabit bir hızla bisikletiyle okula vardığında okuldaki saatin 08:22 olduğunu görüyor. Okulun saati ile saat 15:00 te okuldan eve doğru bisikletiyle geliş hızının 3 katı ile geri dönüyor ve evdeki saatin 14:56 olduğunu görüyor. Buna göre evdeki saat kaç dakika geri alınmıştır?

$\textbf{a)}\ 17  \qquad\textbf{b)}\ 16  \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 14  \qquad\textbf{e)}\ 13$

Özdeş olan $7$ kurşun kalem ve birbirinden farklı $5$ tükenmez kalem, her kutuda aynı sayıda kalem olacak biçimde $6$ farklı kutuya kaç farklı şekilde dağıtılır?

$\textbf{a)}\ 5980  \qquad\textbf{b)}\ 6120  \qquad\textbf{c)}\ 6300 \qquad\textbf{d)}\ 6520  \qquad\textbf{e)}\ 6680$

$ABCD$ paralelkenarının iç bölgesinde $s(\widehat{AEB})+s(\widehat{DEC})=180^{\circ}$ olacak şekilde bir $E$ noktası alınıyor. $s(\widehat{DAE})=50^{\circ}$ ise $s(\widehat{DCE})=?$

$\textbf{a)}\ 30  \qquad\textbf{b)}\ 40  \qquad\textbf{c)}\ 45 \qquad\textbf{d)}\ 50  \qquad\textbf{e)}\ 60$

$f$ gerçel (reel) sayılarda tanımlı bir fonksiyon olsun.
$f(xy-x-y+1)=f(xy)+f(x)-f(y)+6x-3$ ve $f \left(\dfrac13\right)=1$ ise $f(33)=?$

$\textbf{a)}\ -81  \qquad\textbf{b)}\ -85  \qquad\textbf{c)}\ -87 \qquad\textbf{d)}\ -97  \qquad\textbf{e)}\ -99$

$n,$ $2$'den büyük pozitif bir tam sayı olmak üzere$,$ $n$'den $n^2$'ye kadar olan sayıların toplamı $A$ olsun. Buna göre $\dfrac{A}{n}=?$

$\textbf{a)}\ n^3+n  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{n^3+1}{2}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{n^3+n^2}{2}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{n^2+2}{3}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{n^3-n^2+n+1}{2}$

Her $k=1,2,3,4$ için $-4 \leq x_k \leq 6$ olsun. Bu koşul altında $x_1+x_2+x_3+x_4=0$ denklemini gerçekleyen kaç farklı $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ tam sayı dörtlüleri vardır?

$\textbf{a)}\ 745  \qquad\textbf{b)}\ 824  \qquad\textbf{c)}\ 851  \qquad\textbf{d)}\ 913  \qquad\textbf{e)}\ 969$

$\widehat A$ açısı dik olan $ABC$ üçgeninde $AB$ kenarı üzerinde$,$ $BCD$ ve $ADC$ üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin yarıçapları eşit olacak şekilde bir $D$ noktası alınıyor. $|AB|=6,\ |AC|=8$ ise $|AD|=?$

$\textbf{a)}\ \sqrt5  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt6  \qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt3$

$(1^2+1)1!+(2^2+1)2!+(3^2+1)3!+ \cdots +(2016^2+1)2016!+(2017^2+1)2017!=?$

$\textbf{a)}\ 2017.2018!  \qquad\textbf{b)}\ 2018.2018!  \qquad\textbf{c)}\ 2017.2018!-2  \qquad\textbf{d)}\ 2017.2018!-1  \qquad\textbf{e)}\ 2017.2017!$