$210^9$ doğal sayısının pozitif bölenlerinin kaç tanesi $4$, $9$, $25$, $49$ doğal sayılarından en az ikisi ile bölünür?

$
\textbf{a)}\  9984
\qquad\textbf{b)}\ 9744
\qquad \textbf{c)}\ 9728
\qquad \textbf{d)}\ 9648
\qquad\textbf{e)}\ 9216
$

$x,y\geq -2017$ olmak üzere, $\frac{x}{x-y+2017}-\frac{y}{x-y-2017}=1$ denklemini sağlayan kaç farklı $(x,y)$ tam sayı ikilileri vardır?

$
\textbf{a)}\  4033
\qquad\textbf{b)}\ 4034
\qquad \textbf{c)}\ 6051
\qquad \textbf{d)}\ 6052
\qquad\textbf{e)}\ 8068
$

Tepe açısı $m(\widehat{BAC})=100^\circ $ olan $ABC$ ikizkenar üçgeninde $\widehat{ACB}$ açısının açıortayı $[AB]$ kenarını $D$'de kesiyor. $\mid AD \mid=x$, $\mid DC \mid = y$ ise $\mid BC \mid$'nin $x$ ve $y$ cinsinden değeri hangisidir?

$
\textbf{a)}\  x+2y\cos 40^\circ
\qquad\textbf{b)}\ y+2x\cos 20^\circ
\qquad \textbf{c)}\ y+2x
\qquad \textbf{d)}\ 3x-y
\qquad\textbf{e)}\ x+y
$

Beş basamaklı bir sayının birler ve onlar basamağı silindiğinde tam kare olan üç basamaklı bir sayı elde edilmektedir, ayrıca bu sayının binler ve on binler basamağı silindiğinde de tam kare olan üç basamaklı bir sayı elde edilmektedir. Bu özelliklere sahip kaç farklı beş basamaklı doğal sayı vardır?

$
\textbf{a)}\  52
\qquad\textbf{b)}\ 54
\qquad \textbf{c)}\ 57
\qquad \textbf{d)}\ 58
\qquad\textbf{e)}\ 60
$

$7$ kişi, zemin katta bulunan bir asansöre binip, her katta en az bir kişi inecek şekilde dört kat çıkıyor ve dördüncü katta asansör tamamen boşalıyor. Bu asansör kaç farklı şekilde kullanılır?

$
\textbf{a)}\  8400
\qquad\textbf{b)}\ 8449
\qquad \textbf{c)}\ 8456
\qquad \textbf{d)}\ 9114
\qquad\textbf{e)}\ 9149
$

$a,b,c$ sayıları, $x^3+x-1=0$ denkleminin kökleri olsun. Aşağıdaki denklemlerden hangisinin kökleri $a \cdot b, \ a\cdot c, \ b\cdot c$ olur?

$
\textbf{a)}\ x^3-x-1=0
\qquad \textbf{b)}\ x^3-x^2+1=0
\qquad \textbf{c)} \ x^3-x^2-x-1=0
\qquad \textbf{d)}\ x^3-x+1=0
\qquad  \textbf{e)} \ x^3-x^2-1=0
$

$|AB|=2|BC|$ olan $ABCD$ dikdörtgeninin iç bölgesinde $m(\widehat{EAB})=m(\widehat{ABE})=15^\circ $ olacak şekilde bir $E$ noktası alınıyor. $|AE|=2$ ise $|CE|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\  2\sqrt{2+\sqrt3 }
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{4+\sqrt3 }
\qquad \textbf{c)}\ \sqrt{6+\sqrt3 }
\qquad \textbf{d)}\ 2\sqrt{1+\sqrt3 }
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt{2+2\sqrt3 }
$

$n$ pozitif bir tamsayı olmak üzere, $(n+2)^4$ sayısının $(n+1)^4$ sayısına bölümünden kalan $K_n$ olsun. $K_n$ sayısının $4$ ile bölümünden kalan $R_n$ ise $R_1+R_2+R_3+\cdots + R_{2016} + R_{2017}$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\  2016
\qquad\textbf{b)}\ 2017
\qquad \textbf{c)}\ 4030
\qquad \textbf{d)}\ 4031
\qquad\textbf{e)}\ 6053
$

İçi dolu bir küre, merkezinden geçen $100$ düzlem ile en fazla kaç parçaya bölünür?

$\textbf{a)}\  2^{100}-2  \qquad\textbf{b)}\ 9898  \qquad \textbf{c)}\ 2^{198}+2  \qquad \textbf{d)}\ 3^{100}+2  \qquad\textbf{e)}\ 9902$

$x - 2y + xy = 1 + \sqrt {10}$ ve $x^2 + 4y^2 = 13$ olduğuna göre $\left| x-2y-2\right|$ ifadesinin değeri kaçtır ?

$\textbf{a)}\  2\sqrt{2} - \sqrt{5}  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{10}- 1  \qquad \textbf{c)}\ \sqrt{-2 +\sqrt10 }  \qquad \textbf{d)}\ \sqrt{5} - \sqrt{2} \qquad\textbf{e)}\ -3 + \sqrt{10}$

$ABCD$ dışbükey dörtgeninde $ABD$, tepe açısı $m(\widehat{A})=60^\circ+2x$ olan bir ikizkenar üçgendir. $m(\widehat{BAC})=m(\widehat{BCA})=x$ ise $m(\widehat{DCA})$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 30^\circ  \qquad\textbf{b)}\ 30^\circ+x  \qquad \textbf{c)}\ 30^\circ-x  \qquad \textbf{d)}\ 30^\circ-2x  \qquad\textbf{e)}\ 25^\circ$

$n$ pozitif bir tam sayı olsun. $$x+y=n$$ $$xy=n+65$$ sisteminin $(x,y)$ gerçel çözümlerinin olması için $n$'in en küçük değeri kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 21
\qquad\textbf{b)}\ 19
\qquad\textbf{c)}\ 18
\qquad\textbf{d)}\ 17
\qquad\textbf{e)}\ 16
$

$$\sum_{k+l=0}^{97}\binom{100}{k}\binom{100-k}{l}\binom{100-k-l}{97-k-l}$$ toplamının değeri nedir?

$
\textbf{a)}\ 3^{100}\cdot{53900}
\qquad\textbf{b)}\ 3^{97}\cdot{107800}
\qquad\textbf{c)}\ 3^{105}\cdot{10780}
\qquad\textbf{d)}\ 3^{100}\cdot{107800}
\qquad\textbf{e)}\ 3^{98}\cdot{53900}
$

$x,y,z,w,v$ negatif olmayan tam sayılardır. $$x^2+y^2+z^2+w^2+v^2=40$$ denklemini gerçekleyen tüm $(x,y,z,w,v)$ tam sayı beşlilerinin sayısı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 56
\qquad\textbf{b)}\ 66
\qquad\textbf{c)}\ 112
\qquad\textbf{d)}\ 120
\qquad\textbf{e)}\ 122
$

Düzlemde $A(1,0) , B(5,2)$ noktaları veriliyor. $y=x+2$ doğrusu üzerinde alınan bir $C$ noktası için, $|AC|^2+|CB|^2$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 26
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{425}{16}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{53}{2}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{105}{4}
\qquad\textbf{e)}\ 25
$

$p$ bir tek asal sayı olmak üzere, $\sqrt{x(x-p^2)}$ sayısının bir tam sayı olmasını sağlayan $x$ pozitif tam sayılarından en büyüğü ile en küçüğü arasındaki fark aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{p^2+1}{4}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{p^4+1}{4}
\qquad\textbf{c)}\ \left (\dfrac{p^2+1}{2}\right )^2
\qquad\textbf{d)}\ \left (\dfrac{p^2-1}{2}\right )^2
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{(p^2+1)(p^2-p+1)}{4}
$

$KARPUZ$ kelimesinin harfleri ile yazılabilecek olan tüm kelimelerin kaç tanesinde ya $K,A$’dan önce, ya da $R, A$’den sonra, ya da $R, P$’den öncedir? (Burada önce ya da sonra ifadeleri yan yana olmaları gerektiği anlamına gelmez)

$
\textbf{a)}\ 696
\qquad\textbf{b)}\ 690
\qquad\textbf{c)}\ 660
\qquad\textbf{d)}\ 600
\qquad\textbf{e)}\ 580
$

$n=1,2,3,\cdots$ doğal sayıları için, $a_{n}=2-\dfrac{1}{n^2-\sqrt{n^4+\dfrac{1}{4}}}$ olarak verilsin. Buna göre, $\dfrac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\dfrac{2}{\sqrt{a_{2}}}+\dfrac{3}{\sqrt{a_{3}}}+\cdots +\dfrac{19}{\sqrt{a_{19}}}+\dfrac{20}{\sqrt{a_{20}}}$ ifadesinin eşiti nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{\sqrt{761}+1}{4}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt{761}-1}{4}
\qquad\textbf{c)}\ 20
\qquad\textbf{d)}\ 19
\qquad\textbf{e)}\ 7
$

Bir kenarı $12$ olan $ABCD$ karesinde $|AE|=3, |AF|=4$ olacak şekilde $AB$ ve $AD$ kenarları üzerinde sırasıyla $E$ ve $F$ noktaları alınıyor. Kare içinde bir tabanı $EF$ ve diğer tabanın köşeleri $BC$ ve $DC$ kenarları üzerinde olan en büyük alana sahip yamuğun alanı kaçtır? 

$
\textbf{a)}\ 76
\qquad\textbf{b)}\ 74
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{147}{2}
\qquad\textbf{d)}\ 73
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{145}{2}
$

$ \sum _{n=1}^{30}n^{61}\equiv x \pmod {31^2} $ ise $x$ aşağıdakilerden hangisi olabilir? 

$\textbf{a)}\  404  \qquad\textbf{b)}\ 434  \qquad \textbf{c)}\ 465 \qquad \textbf{d)}\ 496  \qquad\textbf{e)}\ 527 $

$1,2,3,3,5,5,8,8$ rakamlarını kullanarak aynı olan rakamlar yan yana olmayacak şekilde oluşturulabilen beş basamaklı kaç farklı şifre vardır ?

$\textbf{a)}\  980  \qquad\textbf{b)}\ 840  \qquad \textbf{c)}\ 720  \qquad \textbf{d)}\ 660 \qquad\textbf{e)}\ 580$

$f(0) = \dfrac {2} {3}$ ve $n = 1,2,3,...$ için $f(n)\neq 0$ ve $(f(n+1)-1)(f(n)+3) + 3 = 0$ olduğuna göre,
 
toplamının değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir ?

$\textbf{a)}\ 3^{2018} - 1010   \qquad\textbf{b)}\ 3^{2017} - 1009  \qquad \textbf{c)}\ 2.3^{2018} - 1009  \qquad \textbf{d)}\ 2(3^{2017} - 505) \qquad\textbf{e)}\ 2.3^{2017} - 1009$

$ \left| AB\right| = \left| AC\right|$ ve $\tan B = \dfrac {5} {12}$ olan $ABC$ üçgeni veriliyor. Yarıçapı $1$ olan bir çember $AB$ ve $AC$ kenarlarını sırasıyla $K$ ve $L$ noktalarında teğet olup $BC$ kenarını $P$ ve $Q$ noktalarında kesmektedir. $P$, $B$ ile $Q$ arasında ve $\left| BK\right| = \dfrac {12} {5}$ ise $BQK$ üçgeninin alanı kaçtır ?

$\textbf{a)}\  \dfrac {3} {2} \qquad\textbf{b)}\  \dfrac {8} {5}  \qquad \textbf{c)}\  \dfrac {108} {65}  \qquad \textbf{d)}\  \dfrac {25} {13} \qquad\textbf{e)}\  \dfrac {144} {65}$

$n^2 - 1$ , üç farklı asal sayının çarpımı şeklinde yazılabilen bir doğal sayıdır. Bu özelliği gerçekleyen en küçük birbirinden farklı ilk beş $n$ sayısının toplamı kaçtır ?

$\textbf{a)}\ 104  \qquad\textbf{b)}\ 110  \qquad \textbf{c)}\ 116  \qquad \textbf{d)}\ 124  \qquad\textbf{e)}\ 144$

Ali $7$ arkadaşını bir hafta boyunca haftanın her günü $3$'lü gruplar şeklinde akşam yemeğine davet etmektedir. Arkadaşlarından herhangi ikisi sadece bir akşam bir arada olmaları koşuluyla Ali, bu daveti kaç farklı şekilde gerçekler?

$ \textbf{a)}\ 15.7!  \qquad\textbf{b)}\ 30.7!  \qquad \textbf{c)}\ 35.7!  \qquad \textbf{d)}\ 42.7!  \qquad\textbf{e)}\ 60.7!$

$f(x) = x^3 - 12x^2 + Ax + B$  , gerçel sayılarda tanımlı artan bir fonksiyon olsun. $ f\circ f\circ f (3) = 3$ ve $ f\circ f\circ f\circ f(4) = 4$ ise $f(7)$ kaçtır ?

$\textbf{a)}\ 7  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad \textbf{c)}\ 31  \qquad \textbf{d)}\ 38  \qquad\textbf{e)}\ 42$

$ s(\widehat {A}) = 60$ olan $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi çiziliyor. $B$ köşesinden çizilen teğet doğru ile $CA$ kenarının uzantısı $D$ noktasında kesişiyor. Burada $A$  noktası, $C$ ile $D$ arasındadır. $\left| DC\right| = 4$ , $\left| AB\right| + \left| AD\right| = \left| AC\right|$ ise $\dfrac {\left| BC\right|} {\left| AB\right|}$ oranı kaçtır ?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac {\sqrt {3}} {2}  \qquad \textbf{c)}\ \dfrac {3} {2}  \qquad \textbf{d)}\ \sqrt {2}  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt {3}$

$A = 64.10^{2014}(a_{1} + a_{2}+ a_{3} + ... + a_{2017})$ koşulunu sağlayan en büyük $2017$ basamaklı $A= a_{1}a_{2}a_{3}...a_{2017}$ doğal sayısının rakamlar toplamı kaçtır ?

$\textbf{a)}\ 11 \qquad\textbf{b)}\ 13  \qquad \textbf{c)}\ 15  \qquad \textbf{d)}\ 19  \qquad\textbf{e)}\ 2017$

$ \left( \begin{matrix} 2017\\ 1\end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2017\\ 5\end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2017\\ 9\end{matrix} \right) + ... + \left( \begin{matrix} 2017\\ 2017\end{matrix} \right)$ toplamının değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2^{2016} + 2^{1006} \qquad\textbf{b)}\ 2^{2017} - 2^{1007}  \qquad \textbf{c)}\ 2^{2015} + 2^{1005}  \qquad \textbf{d)}\ 2^{2015} + 2^{1007}  \qquad\textbf{e)}\ 2^{2017} - 2^{1008}$

$1001^{20}$ sayısının son 12 rakamının toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 15 \qquad\textbf{b)}\ 18  \qquad \textbf{c)}\ 21  \qquad \textbf{d)}\ 24  \qquad\textbf{e)}\ 32$

$ \left| AB\right| = \left| AC\right|$  olan $ABC$ ikizkenar üçgeninin $AC$ kenarına $A$ noktasında teğet ve $B$ noktasından geçen, merkezi üçgenin dışında olan bir çember çiziliyor. Bu çember $BC$ kenarını $E$ noktasında kesmektedir. $ 2\left| BE\right| = 3\left| EC\right|$ ve $ABC$ üçgeninin alanı $27$ ise çemberin yarıçapı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac {9} {2}  \qquad \textbf{c)}\ 5  \qquad \textbf{d)}\ \dfrac {23} {4}  \qquad\textbf{e)}\ 6$

$ 3^{2^{2017}} - 1$  sayısının $2^{2020}$ sayısına bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2^{2017} \qquad\textbf{b)}\ 2^{2019}  \qquad \textbf{c)}\ 2^{2017}+1  \qquad \textbf{d)}\ 2^{2018}+1  \qquad\textbf{e)}\ 2^{2018}+2$