Geomania.Org Forumları

Bir $ABCD$  dış bükey dörtgeninde  $\angle DAB=\angle BCD=90^\circ $ ve $\angle ABC  \gt  \angle CDA$  olsun. $Q$ ve $R$ noktaları sırası ile $[BC]$ ve $[CD]$ doğru parçaları üstünde olmak üzere $QR$ doğrusu $AB$ ve $AD$ doğrularını sırası ile $P$ ve $S$ noktalarında kesiyor. $|PQ|=|RS|$ olduğu verilmiştir. $[BD]$ nin orta noktası $M$ ve $[QR]$ nin orta noktası $N$ olsun. $M$, $N$ $A$ ve $C$ noktalarının çemberdeş (aynı çember üzerinde) olduğunu gösteriniz.

$k$ pozitif tam sayısının hangi en küçük değerinde $\mathbb Z_{>0}$ pozitif tam sayılar kümesinin $k$ renge boyanması ve aşağıdaki iki koşulu sağlayan bir $f:\mathbb Z_{>0} \to \mathbb Z_{>0} $ fonksiyonunun bulunması mümkündür?

    $\text{(i)}$ aynı renge boyanmış tüm $m,n$ pozitif tam sayıları için $f(m+n)=f(m)+f(n)$.
    $\text{(ii)}$ $f(m+n) \neq f(m)+f(n)$ koşulunu sağlayan $m,n$ pozitif tam sayıları vardır.

Not: $\mathbb Z_{>0}$ nin $k$ renge boyanmasında her pozitif tam sayı $k$ renkten tam olarak birine boyanıyor. $\text{(i)}$ ve $\text{(ii)}$ koşullarındaki $m,n$ pozitif tam sayıları farklı olmak zorunda değildir.

Düzlem üzerinde herhangi üçü aynı noktadan geçmeyen 2017 doğru vardır. Başlangıçta tam olarak bir doğru üstünde bulunan salyangoz aşağıdaki kurallarla doğrular üzerinde hareket ediyor.
Salyangoz her zaman doğruların kesişim noktalarından herhangi birine vardıkta sola veya sağa dönüyor.
Salyangoz her defa bir sonraki kesişim noktasına vardıkta son dönüşünü sola yaptıysa sağa ve son dönüşünü sağa yaptıysa sola dönüyor. Salyangoz hareket yönünü sadece kesişim noktalarında değiştiriyor.
Salyangozun üzerinde her iki yönde hareket ettiği bir doğru parçası bulunabilir mi?

$n\ge1$ bir tam sayı ve $t_1 < t_2 < . . . < t_n$ pozitif tam sayılar olsun. $t_n + 1$ kişiden oluşan bir grupta, bazı kişiler kendi aralarında satranç oynuyorlar. Herhangi iki kişi kendi aralarında en fazla
bir oyun oynayabiliyor. Aşağıdaki iki koşulun aynı anda sağlanabileceğini gösteriniz:

$(i)$ Her kişinin oynadığı oyun sayısı $t_1, t_2, . . . , t_n$ sayılarından birine eşittir.

$(ii)$ $1\le i \le n$ olmak üzere her i için tam olarak $t_i$ kez satranç oynayan en az bir kişi vardır.

$n ≥ 2$ bir tam sayı olsun. Hepsi birbirinden farklı olma zorunda olmayan pozitif tam
sayılardan oluşan $(a_1, a_2, . . . , a_n)$ $n$-lisi bir pozitif tam $k$ sayısı için

$(a_1 + a_2)(a_2 + a_3) · · · · · (a_{n−1} + a_n)(a_n + a_1) = 2^{2k−1}$

koşulunu sağlıyorsa bu $n$-liye pahalı diyelim.

$a)$ Hangi $n \ge 2$ değerleri için bir pahalı $n$-li bulunuyor?

$b)$ Her pozitif tam tek $m$ sayısı için elemanlarından biri m olan bir pahalı $n$-li $(n \ge 2)$ bulunduğunu gösteriniz.

$ABC$ herhangi iki kenarının uzunluğu birbirinden farklı olan dar açılı bir üçgen olsun. $ABC$ nin ağırlık merkezi $G$ nin ve çevrel çemberinin merkezi $O$ nun $BC, CA, AB$ kenarlarına göre simetrileri sırasıyla $G_1, G_2, G_3$ ve $O_1, O_2, O_3$ olsun. $G_1G_2C$ , $G_1G_3B$ , $G_2G_3A$ , $O_1O_2C$ , $O_1O_3B$ , $O_2O_3A$ ve $ABC$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin bir ortak noktası bulunduğunu gösteriniz.