Tübitak Lise 1. Aşama - 1996

$\quad$

Şekildeki $ABC$ dik üçgeninin kenarlarına $K$ noktasından indirilen dikmelerin ayakları $D, E, F$ dir. $$|BC|=a, \quad |CA|=b, \quad |AB|=c,$$ $$|CD|=x, \quad |AE|=y, \quad |BF|=z$$ ise $ax + by + cz$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$
\textbf{a)}\ 2ab
\qquad\textbf{b)}\ ab
\qquad\textbf{c)}\ a^2
\qquad\textbf{d)}\ b^2
\qquad\textbf{e)}\ c^2
$

$x$ ve $y$ tam sayı olmak üzere,  $x^2-y^2=1996$  eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ sıralı  ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 6 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 0 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz sayıda}$

$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$  denkleminin iki kökü $u\ne 0$  olmak üzere, $x=u$  ve $x=-u$  ise, katsayılar arasında aşağıdaki bağıntılardan hangisi her zaman doğrudur?


$\textbf{a)}\ c^2-abc+a^2d=0 \qquad\textbf{b)}\ a+b+c+d=0 \qquad\textbf{c)}\ a^2+b^2=c^2+d^2 \qquad\textbf{d)}\ ab\gt cd \qquad\textbf{e)}\ ad=bc$

$\{1,2,3,...,99,100\}$  kümesinden herhangi ikisinin farkı $7$ olmayacak şekilde en çok kaç eleman seçilebilir?

$\textbf{a)}\ 53 \qquad\textbf{b)}\ 52 \qquad\textbf{c)}\ 51 \qquad\textbf{d)}\ 50 \qquad\textbf{e)}\ 49$

$n$ nin aşağıdaki değerlerinden hangisi için,  $\sum\limits_{i=1}^4 i^n$  sayısı  $5$ ile bölünmez?

$\textbf{a)}\ 241 \qquad\textbf{b)}\ 240 \qquad\textbf{c)}\ 239 \qquad\textbf{d)}\ 238 \qquad\textbf{e)}\ 237$

Bir $ABCD$ paralelkenarının $[AB]$ kenarı üzerinde $3|AE|=|EB|$  ve $[AD]$ kenarı üzerinde, $2|AF|=|FD|$ olacak biçimde $E$ e $F$ noktaları alınıyor.

$[EF] \cap [AC] = \{K\}$  ise $\dfrac{|AC|}{|AK|}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 7  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 3$

Şekildeki $ABCD$  yamuğunda $m(\widehat{C})=m(\widehat{D})=90^{\circ}$ dir. $D,A,B$  noktalarından geçen ve yarıçapı $5$  olan çemberin $[DC]$  kenarını $D$  dışında kestiği ikinci nokta $E$  olmak üzere$,$

$m(\overset{\Huge\frown}{AB}) = m(\overset{\Huge\frown}{BE})$  ve $|CE|=3\sqrt2$  ise $|AD|$  kaçtır?

$\textbf{a)}\ 5\sqrt3  \qquad\textbf{b)}\ 4\sqrt3  \qquad\textbf{c)}\ 3\sqrt5  \qquad\textbf{d)}\ 7\sqrt2  \qquad\textbf{e)}\ 6\sqrt2$

$x^2-10x-14=2\sqrt{x^2-10x+1}$  eşitliğini sağlayan tüm $x$ gerçel sayılarının toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 20  \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ -9  \qquad\textbf{d)}\ -20  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$3$ kırmızı$,\ 3$ mavi$,\ 3$ yeşil top rasgele sıralandığında$,$ en az iki kırmızı topun yan yana gelme olasılığı nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{8}{12}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{7}{12}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{6}{12}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{5}{12}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{4}{12}$

$p$ ve $q$  farklı asal sayılar$,\ a$ ve $b$  farklı pozitif tam sayılar ve $n=p^a.q^b$  olmak üzere$,\ n^2$ sayısının pozitif bölenlerinin sayısı $81$ ise $n^3$ sayısının pozitif bölenlerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 169  \qquad\textbf{b)}\ 160  \qquad\textbf{c)}\ 117  \qquad\textbf{d)}\ 84  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{9} \dfrac{3n+2}{n(n+1)(n+2)}$  toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{293}{52}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{189}{110}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{179}{120}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{3}{4}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{5}{12}$

$\sin x = \dfrac{x}{22}$  denkleminin gerçel çözümlerinin sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 17  \qquad\textbf{b)}\ 15  \qquad\textbf{c)}\ 14  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ 7$

$1 \leq a \leq 100$  olmak üzere$,\ a^{60} \equiv 1 \pmod{77}$

bağıntısını sağlayan kaç tane $a$  tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 79  \qquad\textbf{b)}\ 78  \qquad\textbf{c)}\ 77  \qquad\textbf{d)}\ 76  \qquad\textbf{e)}\ 75$

$m(\widehat{A}) < 90^{\circ}$  olan bir $ABCD$  paralelkenarının $[BC]$  kenarına $C$  noktasından çıkılan dikmenin $AB$  doğrusunu kestiği nokta $E$  olmak üzere$,$

$|AB|=|CE|=2|BC|=2\sqrt2$  ise $|AC|^2+|DE|^2$  kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8\sqrt5+26  \qquad\textbf{b)}\ 4\sqrt{10}+26  \qquad\textbf{c)}\ 4\sqrt5+16  \qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt{10}+16  \qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt2+26$

Ahmet yalnızca $2,3,4$ rakamlarından oluşan $13$  basamaklı bir sayı tutuyor. Betül $n$  sayıdan oluşan bir liste hazırlıyor.  Bu sayılardan birinin en az $5$  basamağı Ahmet'in tuttuğu sayının karşılık gelen basamakları ile çakışıyorsa Betül oyunu kazanıyor. Ahmet'in tuttuğu sayı ne olursa olsun Betül'ün oyunu kazanması için $n$  en az kaç olmalıdır?

$\textbf{a)}\ 13  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$1^{1!}+2^{2!}+ \cdots + 13^{13!}$  sayısı $13$  ile bölündüğünde kalan aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 1  \qquad\textbf{d)}\ 0  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Aşağıdaki  $p$  asal sayılarından hangisi için$,$

$x^2+x+1 \equiv 0 \pmod p$  denkliğinin en az bir tam sayı çözümü vardır?

$\textbf{a)}\ 653  \qquad\textbf{b)}\ 647  \qquad\textbf{c)}\ 641  \qquad\textbf{d)}\ 617  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Üçer kişilik üç aileden oluşan dokuz kişi, üç odaya, her birine üç kişi olmak üzere, rasgele girerler. Tam olarak bir ailenin bireylerinin aynı odaya girmiş olması ve diğer iki odadan hiçbirinde tam bir ailenin bulunmaması olasılığı nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{27}{140}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{3}{28}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{27}{280}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{9}{140}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{3}{7}$

Bir $[AX$  ışını üzerinde $|AO|=|OB|=|BC|$  olacak biçimde sırayla $O,B,C$  noktaları alınarak $O$  merkezli$,\ [AB]$  çaplı çember ve çember üzerinde $m(\widehat{BAD})=78^{\circ}$  koşulunu sağlayan $D$  noktasından bu çembere bir teğet çiziliyor. $C$  noktasından bu teğete indirilen dikmenin ayağı $E$  ise $EBC$  açısı kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 146  \qquad\textbf{b)}\ 144  \qquad\textbf{c)}\ 142  \qquad\textbf{d)}\ 140  \qquad\textbf{e)}\ 138$

$x,y$  gerçel sayıları için

$x^2+y^2=6$   ve   $x^3+y^3=14$  ise

$x^4+y^4$  toplamının alabileceği değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \{17\}  \qquad\textbf{b)}\ \{3,\ 4 \}  \qquad\textbf{c)}\ \{17,\ 10\sqrt{15}-22 \}  \qquad\textbf{d)}\ \{34,\ 20\sqrt{15}-44 \}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$a_n$  ile $\sqrt{n}$ ye en yakın olan tam sayıyı gösterelim.

             $\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_{2070}}$

toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 93  \qquad\textbf{b)}\ 92  \qquad\textbf{c)}\ 91  \qquad\textbf{d)}\ 90  \qquad\textbf{e)}\ 89$

$1,4,7,\dots,100$ aritmetik dizisine ait terimlerden $19$ tanesini, bunlardan herhangi farklı ikisinin toplamı $n$'ye eşit olmayacak biçimde seçmemizi aşağıdaki $n$ sayılarından hangisi mümkün kılar?

$\textbf{a)}\ 110  \qquad\textbf{b)}\ 107  \qquad\textbf{c)}\ 104  \qquad\textbf{d)}\ 101  \qquad\textbf{e)}\ 98$

$[AB]$  ve $[DC]$  kenarları paralel olan bir $ABCD$  yamuğunun köşegenlerinin uzunlukları $|AC|=3,\ |BD|=5$ tir. $[AB]$  ve $[DC]$  kenarlarının orta noktaları arasındaki uzaklık $2$  ise bu yamuğun alanı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{15}{2}  \qquad\textbf{c)}\ 7  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{11}{2}$

Elimizde $50$'si beyaz, $50$'si siyah olmak üzere toplam $100$ top var. Bunların tamamını her torbada en az bir top bulunacak şekilde iki torbaya dağıtıyoruz. Bu torbalardan birini rasgele seçerek, içinden yine rasgele bir top çekiyoruz. Birinci torbadaki beyaz top sayısını $x$, siyah top sayısını da $y$  ile gösterelim. Tüm dağılımlar arasında, çekilen topun beyaz olması olasılığını en büyük yapan $(x,y)$  sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ (50,0)  \qquad\textbf{b)}\ (49,48)  \qquad\textbf{c)}\ (25,25)  \qquad\textbf{d)}\ (1,2)  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Bir $XOY$ açısının $OX$  kenarı üzerinden $|OA|=3,\ |OD|=5$  olacak biçimde alınan $A$ ve $D$  noktaları$,\ OY$  kenarı üzerinde de $|OC|=4$ ve $|OB|>4$  olacak biçimde alınan $C$ ve $B$  noktaları için $[AB] \cap [DC] = \{E\}$  ve  $|AE|.|OB| = 3|EB|$  ise $|OB|$  kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{60}{7}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{55}{6}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{19}{4}  \qquad\textbf{d)}\ 8  \qquad\textbf{e)}\ 6$

$m$  ve  $n$  pozitif tam sayılar olmak üzere$,$

        $n+(n+1)+ \cdots + (n+m)=1000$

eşitliğini sağlayan kaç $(m,n)$  sıralı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 2  \qquad\textbf{e)}\ 1$

$|AB|=12$  olmak üzere$,\ [AB]$  çaplı çemberin $|AC|=8$  koşulunu sağlayan $[AC]$  kirişi çiziliyor. Bu çemberin $C$  noktasından geçen teğetine$,\ B$  noktasından indirilen dikmenin ayağı $D$  ise $BDC$  üçgeninin alanı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{80\sqrt5}{9}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{48\sqrt5}{5}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{60\sqrt3}{7}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{56\sqrt3}{5}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{75\sqrt2}{4}$

$a$ ve $b$ den oluşan $9$ harfli dizilerden kaç tanesi $baba$ kelimesini içerir?

$\textbf{a)}\ 192  \qquad\textbf{b)}\ 186  \qquad\textbf{c)}\ 158  \qquad\textbf{d)}\ 156  \qquad\textbf{e)}\ 154$

Farklı boylarda $17$  kişi yan yana dizilmiş olsun. Bunlardan $n$  tanesi artan ya da azalan bir boy sırasında kalacak şekilde geri kalanlar sıradan uzaklaştırılıyor. Bu diziliş ne olursa olsun, böyle bir işlemi olanaklı kılan en büyük $n$  sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 4$

$x \in \mathbb R$  için $f_1(x)=x^2-2x$  ve $n \geq 1$  için  $f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))$  bağıntılarıyla  $f_1,f_2,f_3,...$  fonksiyonları tanımlanıyor. 

$f_{1996}$  fonksiyonunun  $[0,2]$  kapalı aralığında alabileceği en küçük ve en büyük değerler aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 0\ \text{ve}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 0\ \text{ve}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ -1\ \text{ve}\ 24  \qquad\textbf{d)}\ -1\ \text{ve}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ -1\ \text{ve}\ 0$

Aşağıdaki $a$  sayılarından hangisi için;

$n^a \equiv n \pmod a$  bağıntısını sağlamayan en az bir $n$  tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 667  \qquad\textbf{b)}\ 561  \qquad\textbf{c)}\ 547  \qquad\textbf{d)}\ 503  \qquad\textbf{e)}\ 491$

$x^2-x+1$  polinomunun $x^n-x+1$  polinomunu tam olarak bölmesini mümkün kılan $n$  pozitif tam sayılarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \{2\}$
$\textbf{b)}\ \{n \in \mathbb N\ :\ n \equiv 2 \pmod 3 \}$
$\textbf{c)}\ \{n \in \mathbb N\ :\ n \equiv 2 \pmod 6 \}$
$\textbf{d)}\ \{n \in \mathbb N\ :\ n \equiv 2 \pmod{12} \}$
$\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$f : \mathbb Z \times \mathbb Z \to \mathbb Z$  fonksiyonu$,$  her $x,y \in \mathbb Z$  için$,$

   1)  $f(x+1,y+1)+f(x,y) = f(x,y+1)+f(x+1,y)$

   2)  $f(x,0)=x^2$

   3)  $f(0,y)=-y^2$

koşullarını sağlıyor. $f(1000,996)$  aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 7984  \qquad\textbf{b)}\ 1996  \qquad\textbf{c)}\ 16  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Bir üçgen, oluşacak üçgenlerin tüm köşelerinde aynı sayıda kenar kesişecek şekilde $n$  üçgene ayrılabiliyorsa $n$  en çok kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 19  \qquad\textbf{b)}\ 15  \qquad\textbf{c)}\ 7  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Elemanlarından herhangi ikisi aralarında asal olan ve herhangi ikisinin farkı üçüncüsü ile bölünen, üç elemanlı tüm $\{a,b,c\} \subset \mathbb Z$  kümelerini dikkate aldığımızda, aşağıdakilerden hangisi doğru değildir?

$\textbf{a)}$  $a,b,c$  sayılarından en az biri negatif olmalıdır.
$\textbf{b)}$  Sıfırdan farklı hangi $c$  tam sayısı verilirse verilsin, $\{a,b,c\}$  istenen koşulu sağlayacak biçimde $a$ ve $b$  tam sayıları bulunur.
$\textbf{c)}$  $a,b,c$  sayılarından en az birinin mutlak değeri $1$  ya da $2$  dir.
$\textbf{d)}$  $a,b,c$  ardışık tam sayılar olamaz
$\textbf{e)}$  Hiçbiri

Şekilde $ABCD$  kare$,$

$m(\widehat{AED})=90^{\circ}$  ve $[BD]$  nin orta noktası $F$  dir.

$|EA|=a,\ |EF|=b,\ |ED|=c$  ise

$ABD$  üçgeninin alanı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ a^2+b^2+ab  \qquad\textbf{b)}\ b^2+4ac  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{b^2+ac}{3}  \qquad\textbf{d)}\ b^2-\dfrac{ac}{2}  \qquad\textbf{e)}\ b^2-ac$