Tübitak Lise 1. Aşama - 1993

Köşegenleri dik kesişen bir dörtgende köşegenlerin uzunlukları toplamı $12$ ise bu dörtgenin alanı en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 18
\qquad\textbf{b)}\ 32
\qquad\textbf{c)}\ 16
\qquad\textbf{d)}\ 24
\qquad\textbf{e)}\ 36
$

Bir $ABC$ üçgeninde $[AB]$ kenarı üstünde alınan ($A$ ve $B$ den farklı) $n$ değişik nokta ile $C$ yi, $[BC]$ kenarı üstünde alınan ($B$ ve $C$ den farklı) $k$ değişik nokta ile $A$ yı birleştiren doğru parçaları $ABC$ üçgenini toplam kaç bölgeye ayırır?

$
\textbf{a)}\ nk
\qquad\textbf{b)}\ n+1 + kn
\qquad\textbf{c)}\ (n+1)(k+1)
\qquad\textbf{d)}\ (n+1)k
\qquad\textbf{e)}\ (k+1)n
$

$n$ tamsayısının aşağıdaki değerlerinden hangisi için $2^{10} + 2^{13} + 2^n$ bir tam kareye eşit olur?

$
\textbf{a)}\ 10
\qquad\textbf{b)}\ 11
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 13
\qquad\textbf{e)}\ 14
$

$13!+1 < p \leq 13! + 13 $ koşulunu sağlayan kaç $p$ asal sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 0
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ 2
$

Eğer nüfus $t=0$ dan $t=1$ e kadar $\% i $, $t=1$ den $t=2$ ye kadar $\% j $ oranında artmışsa $t=0$ dan $t=2$ ye kadarki nüfus artış oranı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ i+j
\qquad\textbf{b)}\ ij
\qquad\textbf{c)}\ i+j+\dfrac{ij}{100}
\qquad\textbf{d)}\ i+ij
\qquad\textbf{e)}\ i+j+\dfrac{i+j}{100}
$

Aşağıdaki ispatta hangi adım hatalıdır?

TEOREM: $\dfrac12$ sayısının karekökü yoktur.

İSPAT: $x=\sqrt{\dfrac12}$ olduğunu varsayalım. O zaman


$\begin{array}{llr}
  & 2x^2=1 & i \\
\implies  & 2x^2 + 1 =4-4x^2& ii \\
\implies  & x^4 +2x^2 + 1 =x^4 + 4 - 4x^2& iii \\
\implies  & (x^2 + 1)^2 =(x^2 -2)^2& iv\\
\implies  & x^2 + 1 =x^2 -2 & v \\
\implies &  1 = -2 \text{  (çelişki) }& vi
\end{array}$


$
\textbf{a)}\ i\implies ii
\qquad\textbf{b)}\ ii\implies iii
\qquad\textbf{c)}\ iii\implies iv
\qquad\textbf{d)}\ iv\implies v
\qquad\textbf{e)}\ v \implies vi
$

$1,2,3,4$ rakamlarının permütasyonuyla elde edilen $4$ rakamlı sayıların tümünün toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ 66660
\qquad\textbf{b)}\ 66000
\qquad\textbf{c)}\ 66600
\qquad\textbf{d)}\ 60000
\qquad\textbf{e)}\ 66666
$

$$ \begin{array}{lcr}  xz-yt & = & 1 \\   xt+4yz & = & 3  \end{array}$$
denklem çiftinin $x,y,z,t$ negatif olmayan tam sayılar olmak üzere kaç tane $(x,y,z,t)$ çözüm takımı vardır?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 1
\qquad\textbf{d)}\ 0
\qquad\textbf{e)}\ 3
$

$\quad$

Şekilde $D$ merkezli, $z$ yarıçaplı çember $AB$ doğrusuna ve $O$ merkezli $[AB]$ çaplı çembere teğettir. $|AC|=x$, $|CB|=y$ ise, $x$, $y$, $z$ arasında hangi bağıntı vardır?

$
\textbf{a)}\ 2z^2=xy
\qquad\textbf{b)}\ zx+zy=xy
\qquad\textbf{c)}\ 2z^2=x^2+y^2
\qquad\textbf{d)}\ zx+xy=zy
\qquad\textbf{e)}\ x^2=y^2+z^2
$

$\quad$

Şekilde $ABC$ ikizkenar üçgen olup $m(\widehat {A})=120^\circ$ dir. $x,y$ doğruları sırasıyla $[AB]$ ve $[AC]$ nin orta dikmeleri, $x\cap [BC] = \{ D \}$, $y\cap [BC] = \{ E \}$ ve $|BC|=24$ olduğuna göre, $|DE|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 14
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 10
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

$x^2+(x+1)^2+(x+2)^2=y^2$ denkleminin $x,y$ tamsayı olacak şekilde kaç tane $(x,y)$ çözüm takımı vardır?

$
\textbf{a)}\ \text{Sonsuz}
\qquad\textbf{b)}\ 12
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 0
\qquad\textbf{e)}\ 3
$

$7$ yolcu $3$ vagondan oluşan boş bir trene rastgele birer vagon seçerek binerler. Birinci vagonda tam olarak iki yolcu bulunması olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{224}{729}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{448}{729}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{560}{2187}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{452}{2187}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{512}{2187}
$

$k>1$ bir tamsayı ve $k\not\equiv 9 \pmod {17}$ ise, $2k-1$ ve $9k+4$ tamsayılarının en büyük ortak böleni aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ 7
\qquad\textbf{b)}\ 17
\qquad\textbf{c)}\ 2k-1
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$\begin{array}{lcr} xy+x+y & = & 5 \\  x^2y+xy^2 & = & 6  \end{array}$

denklemleri veriliyor. $y>1$ ise $x^2+2y^2$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 9
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

Bir $ABC$ üçgeninde $A$ ve $B$ köşelerinden çizilen kenarortaylar dik olarak kesişmektedir. $|BC|=7$, $|AC|=9$ olduğuna göre, $|AB|$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$
\textbf{a)}\ \sqrt{28}
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{24}
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt{27}
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt{25}
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt{26}
$

Verilen altı değişik rengi kullanarak bir kübün her yüzünü farklı bir renge boyuyoruz. Kübün istenildiği kadar ve istenilen istikametlerde döndürülmesiyle biri diğerinden elde edilen iki boyamayı aynı kabul edersek, bu boyama işlemi kaç değişik biçimde yapılabilir?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 12
\qquad\textbf{c)}\ 30
\qquad\textbf{d)}\ 90
\qquad\textbf{e)}\ 180
$

$T_n=1^3+2^3+\cdots +n^3 $  ve  $P_n=\dfrac{4T_2}{2(T_2-T_1)}\cdot \dfrac{4T_3}{3(T_3-T_2)}\cdots \dfrac{4T_n}{n(T_n-T_{n-1})}$  olmak üzere, $P_{25}$  aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$
\textbf{a)}\ 317
\qquad\textbf{b)}\ 169
\qquad\textbf{c)}\ 1993
\qquad\textbf{d)}\ 3991
\qquad\textbf{e)}\ 7
$

İçlerinde $a$, $b$ ve $c$ nin bulunduğu $10$ değişik harfin permütasyonlarının kaç tanesinde $a$, $b$ ve $c$ harflerinden ikisi yan yana gelmez?


$\textbf{a)}\ 89\cdot 8! \qquad\textbf{b)}\ 4\cdot 9! \qquad\textbf{c)}\ 8\cdot 9! \qquad\textbf{d)}\ 42\cdot 8! \qquad\textbf{e)}\ 84\cdot 8!$

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{2x-1} \ge 1$  eşitsizliğinin reel sayılardaki çözüm kümesi ayrık aralıkların birleşimi olarak yazıldığında, bu aralıkların uzunlukları toplamı ne olur?

$\textbf{a)}\ \text{Sonsuz} \qquad\textbf{b)}\dfrac{\sqrt{17}}{4} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{\sqrt{17}}{2} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac92 \qquad\textbf{e)}\ 2$

$\begin{array}{lcr}  x+y & = & t \\ x^2 + y^2  & = & 2t \end{array}$
denklem sisteminin tüm reel değerli $(x,y,t)$ çözümleri içinde $t$ nin alabileceği en büyük değer ne olur?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 1+\sqrt2
\qquad\textbf{d)}\ 4+\sqrt2
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$m$ ve $n$ tamsayı olmak üzere $m^2+n^2<10001$ ise, $3m+4n$ nin alabileceği en büyük değer ne olur?

$
\textbf{a)}\ 403
\qquad\textbf{b)}\ 480
\qquad\textbf{c)}\ 490
\qquad\textbf{d)}\ 500
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$\quad$

Şekilde, $OABC$ kenar uzunluğu $2a$ olan bir kare, $D\in [OC]$, $E \in [BC]$, $|OD|=|EC|$, $[AE]\cap [BD]=\{ F \}$ dir. Buna göre $F$ noktasının $x$, $y$ koordinatları arasında hangi bağıntı vardır?

$\textbf{a)}\ (x-2a)^2+(y-a)^2=a^2 \qquad\textbf{b)}\ (x-a)^2+(y-2a)^2=4a^2
\qquad\textbf{c)}\ (x-a)^2+(y-a)^2=a^2 \qquad \textbf{d)}\ x^2+y^2=2a^2 \qquad\textbf{e)}\ x^2+(y-a)^2=4a^2 $

$\quad$

Şekilde $ABCD$ ($AB \parallel CD $) bir yamuk, $m(\widehat{B})=48^\circ $, $m(\widehat{D})=138^\circ $. $|AB|=2|DC|=4a$, $|AE|=|EB|$, $|DF|=|FC|$ olduğuna göre $|EF|$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 2a \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{3a}{2} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{2a}{3}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{a}{2}  \qquad\textbf{e)}\ a$

$101,10101,1010101, \dots , \underbrace {10101 \dots 01}_{100 \text{ tane } 1}$ dizisinde kaç tane asal sayı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 49
\qquad\textbf{c)}\ 1
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ 33
$

Çarpanların sırasını da hesaba katarsak $1000000$ sayısı üç pozitif tamsayının çarpımı olarak kaç değişik biçimde gösterilebilir?

$
\textbf{a)}\ 1024
\qquad\textbf{b)}\ 784
\qquad\textbf{c)}\ 756
\qquad\textbf{d)}\ 354
\qquad\textbf{e)}\ 134
$

$$ \begin{array}{lcr}  x+3y & = & tx \\ x-y  & = & ty \\ x^2+y^2  & = & t^2 \end{array}$$
denklem sisteminin kaç tane reel değerli $(x,y,t)$ çözüm takımı vardır?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 9 $

$\quad$

Şekilde $ABCDE$ düzgün beşgen, $O$ noktası bu beşgenin merkezi ve $|PA|=|QB|=\dfrac{1}{3}|AE|$ dir. Buna göre $\widehat{OPQ}$ açısı kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 54 \qquad\textbf{b)}\ 36 \qquad\textbf{c)}\ 72 \qquad\textbf{d)}\ 50 \qquad\textbf{e)}\ 60$

$\quad$

Şekilde, $BD$ ve $CE$ doğruları, $O$ merkezli $[AB]$ çaplı çemberin teğetleri, $C \in AB$ ve $|AO|=|BC|$ dir. $|AB|=12$ olduğuna göre $EDF$ üçgeninin alanı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 8 \qquad\textbf{c)}\ 4\sqrt{3} \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 3\sqrt{3} $

$p,q$ pozitif tamsayılar ve $p=q+2$ ise, $p^2+q^2 \equiv x \pmod{72}$ denkliğini sağlayan en küçük pozitif $x$ tamsayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$ \textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 34 \qquad\textbf{c)}\ 70 \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ 4 $

$\quad$

Şekilde çizgilerin üzerinden gitmek koşuluyla, $A$ dan başlayıp beş noktadan geçtikten sonra $C$ ye varan (örneğin $ABCBADC$ gibi) kaç farklı yol vardır?

$\textbf{a)}\ 24 \qquad\textbf{b)}\ 32 \qquad\textbf{c)}\ 33 \qquad\textbf{d)}\ 81 \qquad\textbf{e)}\ 90 $

$ABC$ ($m(\widehat{B})=90^\circ$) üçgeninde $[AC]$ kenarının orta noktası $D$ dir. $ABD$ ve $BDC$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin yarıçapları sırasıyla $x$, $y$ ve $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları $a,b,c$ ise $\dfrac{x}{y}$ aşağıdakilerden hangisidir?

$ \textbf{a)}\ \dfrac{a}{b} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt{b^2-a^2}}{a} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{c}{b} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{\sqrt{b}}{a} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{\sqrt{b^2-a^2}}{c} $

$\quad$

Şekilde, $ABCD$ ($AB\parallel CD$) bir yamuk, köşegenlerin kesiştiği nokta $E$ dir. $Alan(ABCD)=25$, $Alan(AEB)-Alan(DEC)=5$ olduğuna göre $Alan(BEC)$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 7 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 4 $

$x^2+ax+2a=0$ denkleminin bütün kökleri tamsayı olacak şekilde seçilebilecek $a$ reel sayılarının sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 6 \qquad\textbf{c)}\ 0 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz}$

$A=\{1,2,3,4 \}$ kümesinin her $a$ elemanı için $(f \circ f)(a)=a$ koşulunu sağlayan kaç tane $f:A \to A $ fonksiyonu vardır?

$ \textbf{a)}\ 24 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 10 $

Verilen bir $(a_n)$ dizisinden her $n$ için $b_n=a_{n+1}-a_n$ şeklinde bir $(b_n)$ dizisi tanımlanıyor. $a_8=a_{40}=0$ ve her $n$ için $b_{n+1}-b_n = 2$ ise $a_1$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 273 \qquad\textbf{b)}\ 301 \qquad\textbf{c)}\ 186 \qquad\textbf{d)}\ 403 \qquad\textbf{e)}\ 281$

Negatif olmayan $x,y$ tamsayıları için tanımlanan $F(x,y)$ fonksiyonunda

$i)$ Her $x,y$ için $F(x+1,y) + F(x,y+1) = F(x,y) + F(x+1,y+1)$
$ii)$ Her $x$ için $F(x,0)=x$
$iii)$ Her $y>0$ için $F(0,y)=1$

ise $F(1000,993)$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 1993 \qquad\textbf{b)}\ 1001 \qquad\textbf{c)}\ 999 \qquad\textbf{d)}\ 994 \qquad\textbf{e)}\ 7 $