Tübitak Ortaokul 2. Aşama - 1998 Çözümleri

Bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$, $[BC]$ ve $[CA]$ kenarları üzerinde sırasıyla $F$, $D$ ve $E$ noktaları alınarak, hipotenüsü $[EF]$ olan $DEF$ ikizkenar dik üçgeni çiziliyor. Bu $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinden geçen yükseklik $10$ cm, $|BC|=30$ cm olup $EF$, $BC$ ye paraleldir. $DEF$ üçgeninin çevre uzunluğunu hesaplayınız.

Çözüm:

$D$ den $EF$ ye inilen dikmenin ayağı $G$, $A$ dan $BC$ ye inilen dikmenin ayağı $H$ olsun. $AH$ ile $EF$, $I$ da kesişsin.
$\triangle DEF$ ikizkenar olduğu için $|DG| = h$ dersek $|EF| = 2h$ olacaktır.
$DGIH$ bir dikdörtgen olduğu için $|IH| = |DG| = h$ olacaktır.
$EF \parallel BC$ olduğu için $\triangle AFE \sim \triangle ABC$ ve $\triangle AFI \sim \triangle ABH$ dir.
$$\dfrac {|FE|}{|BC|} = \dfrac {|AF|}{|AB|}= \dfrac {|AI|}{|AH|} $$
$\dfrac {2h}{30} = \dfrac {10-h}{10} \Rightarrow h = 6$ dır.

$\text{Çevre}(DEF) = h\sqrt 2 + h\sqrt 2 + 2h = h(2+\sqrt 2 ) = 12 + 12\sqrt 2 = 12(\sqrt 2 + 1)$ dir.

$3$ X $3$ bir satranç tahtasına $1$ den $9$ a kadar olan tam sayılar, her kareye bir sayı gelecek biçimde yerleştiriliyor. Her sütun için o sütunda yer alan sayıların en küçüğünü alarak bulduğumuz üç sayının en büyüğüne $a$ diyelim. Her satır için ise, o satırda yer alan sayıların en büyüğünü alarak elde ettiğimiz üç sayının en küçüğüne $b$ diyelim. Sayıları tahtaya $a=b=4$ olacak şekilde en fazla kaç farklı biçimde yerleştirebiliriz?

Çözüm:

$4$ ün bulunduğu satırdaki en büyük sayı $4$ olmalı. Yani diğer iki sayı $a,b \in \{1,2,3\}$ olmalı.
$4$ ün bulunduğu sütundaki en küçük sayı $4$ olmalı. Yani diğer iki sayı $c,d \in \{5,6,7,8,9\}$ olmalı.
Diğer $4$ sayı da $a,b,c,d,4$ sayıları hariç diğer sayıların bir sıralanışıdır.
Bu şekilde herhangi bir dağılım $4$ ün; satırların en büyük elemanlarının en küçüğü, sütunların en küçük elemanlarının en büyüğü olmasını sağlar.
($c,d > 4$ olduğu için diğer iki satırın en büyük iki elamanı en az $c$ ve $d$ kadardır. Dolayısıyla $4$ bunlardan en küçüğüdür.
Benzer şekilde $a,b < 4$ olduğu için diğer iki sütunun en küçük elemanları en çok $a$ ve $b$ kadar olacaktır. Dolayısıyla $4$ bunlardan en büyüğüdür.)

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline 4 & a & b \\
\hline c & & \\
\hline d & & \\
\hline
\end{array}$$

Toplamda, $P(9, 1) \cdot P(3,2) \cdot P(5,2) \cdot P(4,4) = 9 \cdot (3\cdot 2) \cdot (5 \cdot 4) \cdot 4! = 9 \cdot 4 \cdot 6! = 9 \cdot 4 \cdot 720 = 9 \cdot 2880 = 25920$ dağılım elde edilir.

Bir pozitif tam sayıya, kendisini bölen her asal sayının karesi ile de bölünüyorsa "iyi sayı" diyeceğiz. İki ardışık iyi sayıdan oluşan sonsuz çoklukta sayı çiftinin bulunduğunu gösteriniz.

Çözüm:

İki iyi sayının çarpımı iyi sayıdır. Tam kareler iyi sayıdır.
$a$ ile $a+1$ iyi sayı olsun. $4$ ve $a(a+1)$ sayıları iyi sayı olduğu için $4a(a+1) = 4a^2 + 4a$ bir iyi sayıdır. $(2a+1)^2 = 4a^2 + 4a + 1$ de iyi sayıdır.
Bir adet ardışık iyi sayı çiftinden $(a,a+1) \rightarrow (4a^2+4a, 4a^2+4a+1)$ dönüşümü ile sonsuz sayıda iyi sayı çifti elde edebiliriz.
$(8,9)$ ardışık iyi sayı çifti olduğu için $(8,9) \rightarrow (288, 289)$ dönüşümünden sonsuz çoklukta iyi sayı çifti elde ederiz.