Tübitak Ortaokul 2. Aşama - 2008 Çözümleri
« 2007 2009 »
« Sorulara Git
Geri

Tübitak Ortaokul 2. Aşama - 2008 Çözümleri

1
$ABC$ dik üçgeninde $s(\widehat{C})=90^{\circ}$ olmak üzere, $D$ ile içteğet çemberinin merkezini gösterelim. $A$ ve $D$ den geçen doğrunun $CB$ kenarı ile kesişim noktası $N$ olsun. $|CA|+|AD|=|CB|$ ve $|CN|=2$ ise, $|NB|$ kaç birimdir?
Çözüm:
$AC$'yi $A$ yönünde $|AD|$ kadar uzatıp uç noktaya $K$ diyelim. $KCB$ ikizkenar dik üçgendir. $\angle{DAB} = \alpha$ olsun. $\angle{BAC} = 2 \alpha$, $\angle{CBA} = 90^\circ-2\alpha$ olur. $\angle{KBC} = 45^\circ$ olacağından $\angle{KBA} = 2\alpha - 45^\circ$ olarak bulunur. $BD$, $\angle{ABC}$'nin açıortayı olacağından $\angle{ABD} = 45^\circ-\alpha$ bulunur. $\angle KAD + \angle KBD = 180^\circ$ olduğundan $KADB$ kirişler dörtgenidir, $KAD$'nin ikizkenarlığı kullanılarak $\angle{KBD} = \angle{ABD} \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2} = 45^\circ-\alpha \Rightarrow \alpha = 30^\circ$ bulunur. $ABC$, bir $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ üçgenidir. Kenar oranları kullanılarak açıortay teoreminden $|NB|=4$ bulunur.
2
$4^x+3^y=z^2$ denkleminin pozitif tamsayılar kümesindeki tüm çözümlerini bulunuz.
3
Bir masa üstündeki $24$ tane bardaktan tam olarak üç tanesi ters çevrilmiştir. Her işlemde herhangi dört bardağı çevirebiliyoruz. En fazla $100$ işlem yaparak bütün bardakları düz hale getirilebilir miyiz?
Çözüm:
Cevap: Hayır.

Ters bardaklara $1$ puan, düz bardaklara $0$ puan verelim.
$P_n$ ile $n$. adımdaki toplam puanı gösterelim. $P_0=3$ tür. $P_{k\leq 100}=0$ olabilir mi, bunu merak ediyoruz.
$4$ ters bardağı düz yaptığımızda, puan $4$ azalır.
$3$ ters bardağı, $1$ düz bardağı çevirdiğimizde puan $2$ azalır.
$2$ ters, $2$ düz bardak çevrildiğinde puan değişmez.
$1$ ters, $3$ düz bardak çevrildiğinde puan $2$ artar.
$4$ düz bardak çevrildiğinde puan $4$ artar.
Bu durumda her adımda puan çift sayıda değiştiği için hiçbir adımda puan çift olamaz. O halde $P_k\neq 0$ dır.