Tübitak Ortaokul 2. Aşama - 2007 Çözümleri

$AD\parallel BC$ ve $|AB|=|BC|$ olan bir $ABCD$ yamuğunda $[BC]$ ve $[AD]$ kenarlarının orta noktaları sırasıyla $E$ ve $F$ dir. $\widehat{ABC}$ nin iç açıortayı $F$ noktasından geçtiğine göre, $|BD|/|EF|$ yi bulunuz.

Çözüm:

Cevap: $\boxed 2$

$|BE|=|CE|=1$ olsun. $|AB|=2$.
$\angle ABF = \angle EBF = \angle AFB$ olduğu için $|AB|=|AF|=2$. Bu durumda $|AD|=4>|BC|=2$ olacağı için $[AB$ ile $[DC$ ışınları kesişir. Bu kesişim noktası $G$ olsun.
$|BC|/|AD|=1/2$ olduğu için $GA=GD=4$ ve $\triangle GAD$ eşkenar üçgendir. $[GF]$ ve $[DB]$ bu eşkenar üçgenin yükseklikleri olduğu için $\dfrac{|BD|}{|EF|}=\dfrac{|GF|}{|EF|}=2$.

$15$ voleybol takımından oluşan bir eleme grubunda, her takım diğer takımlardan her biriyle tam olarak bir kez karşılaşıyor. Voleybolde beraberlik olmadığı için, her karşılaşma, takımlardan birinin diğerini yenmesiyle sonuçlanıyor. Toplam yenilgi sayısı $N$ yi aşmayan bütün takımlar bir sonraki tura geçiyor. En az $7$ takımın tur atlamasını olanaklı kılan $N$ tam sayılarından en küçüğünü bulunuz.

Çözüm:

Cevap: $\boxed 3$

Puan sıralamasındaki ilk $7$ takım kendi aralarında $\dbinom 72 = 21$ maç yapar.
$N\leq 2$ olsaydı, bu $21$ maçtaki toplam mağlubiyet sayısı $7N=14$ ten büyük olmayacaktı. Halbuki, $21$ maçta $21$ mağlubiyet alınmış olmalıydı.
Bu durumda $N\geq 3$ olmalı.
$N=3$ için ilk $7$ takımın birbirleriyle olan maçlarında galibiyet durumları aşağıdaki gibi olan ve diğer $8$ takımı da yendiği durumu örnek verebiliriz.

$1: 2,3,4$
$2: 3,4,5$
$3: 4,5,6$
$4: 5,6,7$
$5: 6,7,1$
$6: 7,1,2$
$7: 1, 2, 3$