Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde, $H$ noktası $[AC]$ kenarı, $D$ noktası da $[BC]$ kenarı üstünde olmak üzere, $BH \perp AC$ ve $HD\perp BC$ dir. $ABH$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O_{1}$, $BHD$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O_{2}$ ve $HDC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O_{3}$ olsun. $O_{1}O_{2}O_{3}$ üçgeninin alanının, $ABH$ üçgeninin alanına oranını bulunuz.

$x^3+y^3=(x+y)^2$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y)$ tam sayı ikililerini bulunuz.

Tüm terimlerinin toplamı negatif ve herhangi üç ardışık teriminin toplamı da pozitif olan bir $a_{1},a_{2} \cdots a_{19},a_{20}$ tam sayılar dizisinin bulunup bulunmadığını belirleyiniz.