Tübitak Ortaokul 2. Aşama - 2003 Çözümleri

Verilen koşul $DE$'nin açıortay olduğunu gösterir. O halde $\angle{ADC}=22,5^\circ+22,5^\circ=45^\circ$ ve $\angle{ABC}=180^\circ-45^\circ=135^\circ$ olmalıdır. Eşit yayları gören kirişlerden $AB=BC$ bulunur. Öte yandan $\angle{BAC}=\angle{ADE}=22,5 ^\circ$ vardır. Bu sebeple $AB$ doğrusu $(ADE)$ çemberine teğet olmalıdır. B noktasının kuvvetini yazarsak $AB^2=BE\cdot BD=6\cdot BE$ bulunur. Diğer taraftan E'nin kuvvetini yazarsak $BE\cdot ED=AE\cdot EC$ sağlanır. Açıortay Teoremi'nden $DE^2=AD\cdot DC-AE\cdot EC=AD\cdot DC-BE\cdot ED$ bulunur. Buradan $DE(DE+EB)=AD\cdot DC\Rightarrow BD\cdot DE=AD\cdot DC\Rightarrow 6\cdot DE=AD\cdot DC$ sağlanır.
$$A(ADC)=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot DC\cdot \sin{45^\circ}=3ED\cdot \sin{45^\circ}$$ $$A(ABC)=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin{135^\circ}=\frac{1}{2}\cdot AB^2\cdot \sin{45^\circ}=3BE\cdot \sin{45^\circ}$$ olur. Bunları toplarsak $$\boxed{A(ABCD)=A(ABC)+A(ADC)=3(BE+ED)\cdot \frac{\sqrt 2}{2}=9\sqrt 2}$$ elde ederiz. $\blacksquare$

$\dfrac{|AD|}{|DC|} = \dfrac{|AE|}{|CE|}$ olduğundan $ADC$ üçgeninde $[DE]$ iç açıortaydır. Buna göre $\angle CDE = \angle ADE = 22,5^\circ$ olur. Kirişler dörtgeninde eşit ölçülü çevre açıların gördüğü kirişler eşit olup $|AB| = |BC|$'dir. $[DC$ ışını üzerinden bir $F$ noktasını $|BF| = |BD| = 6$ olacak şekilde alalım. $\angle DAB = \angle FCB$, $\angle BFC = \angle BDA$ olduğundan $FCB \cong DBA$ (AKA eşliği) olur. Dolayısıyla $\text{Alan}(ABCD) = \text{Alan}(BDF)$'dir. $\angle DBF = 135^\circ$ ve $\text{Alan}(BDF) = \dfrac{1}{2}\cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin 135^\circ = 9\sqrt{2}$ olur. $\text{Alan}(ABCD) = 9\sqrt{2}$ bulunur.

$m=(a_ka_{k-1}\dots a_1a_0)_{10}$ olsun. Ekleyebileceğimiz sayıyı maksimize etmek amacıyla $a_0=2$ seçelim. O halde $$\sum_{i=1}^k a_i\equiv -2\pmod{8}$$ olmalıdır. $m+8=(a_ka_{k-1}\dots (a_1+1)0)_{10}$ bulunur. Bu sayının rakamlar toplamı ise $7$ kalanını verir. Yine ekleyebileceğimiz sayıyı maksimize etmek amacıyla $a_1=9$ seçelim. $m+8=(a_ka_{k-1}\dots (a_2+1)00)_{10}$ olup bu sayının rakamlar toplamı $7$ kalanını verir. Benzer şekilde bunu uzatabiliriz. Baştaki koşula bağlı olarak $k=7$ seçilip $a_i=9$ alınabilir. $m=99999992$ alınırsa $m+1,m+2,\dots m+14$ sayılarının rakamlar toplamı $8$'e tam bölünmez, $m+15$ bölünür. Öyleyse $n$'nin maksimum değeri $\boxed{15}$ olmalıdır.

Aynı soru Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 34'de de sorulmuştur.

İndirgemeli diziler yardımıyla çözülebilir.
$\{1,2,3,\dots,n\}$ kümesinin herhangi ardışık iki tam sayı içermeyen alt küme sayısına $a_n$ diyelim. Bu küme içerisinden bu şekilde seçeceğimiz alt küme $A$ olsun. Durum incelemesi yapalım.

$(i)$ $n\in A$ ise ardışık tam sayı bulunmayacağından $n-1\not\in A$ olmalıdır. Elimizde kalan küme $\{1,2,3,...,n-2\}$ olur. Bu kümeden istenen şekilde $a_{n-2}$ farklı alt küme seçilebilir.

$(ii)$ $n\not\in A$ ise elimizde kalan küme $\{1,2,3,...,n-1\}$ olur. Bu kümeden istenen şekilde $a_{n-1}$ farklı alt küme seçilebilir.

$(i)$ ve $(ii)$ durumları tüm durumları kapsar. O halde işlemlerimiz gereği $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ olmalıdır. Bu dizinin ilk iki terimini bulursak kalan terimlerine de rahatlıkla ulaşabiliriz.

$n=1$ durumu için $\{1\}$ kümesinden boş küme ve tek elemanlı küme olmak üzere 2 küme seçilebilir. $a_1=2$ olmalıdır.
$n=2$ durumu için $\{1,2\}$ kümesinden boş küme ve tek elemanlı kümeler seçilebilir. $a_2=3$ olmalıdır.

Bu başlangıç terimleri yardımıyla $a_{11}$'i hesaplarsak cevabın $233$ olduğunu görürüz.

not: Fibonacci dizisini $(f_n)=(1,1,2,3,5,8,13,21,...)$ olarak tanımlarsak $a_n=f_{n+2}$ olduğunu görürüz. Yani özünde sorunun cevabı genel olarak $f_{n+2}$'dir.