Tübitak Ortaokul 2. Aşama - 2002 Çözümleri

$AD$ nin $BC$ ye paralel olduğu bir $ABCD$ yamuğunda, $|AC| = 8$ ve $|BD| = 6$ dır. $[AD]$ ve $[BC]$ nin orta noktaları sırasıyla $P$ ve $S$ olmak üzere, $|PS| = 5$ ise, $ABCD$ yamuğunun alanını bulunuz.

Çözüm:

$[AB]$, $[CD]$ kenarlarının orta noktaları da sırasıyla $R$ ve $T$ olsun. $PRST$ bir paralelkenardır ve literatürde Varignon paralelkenarı olarak bilinir. Bu paralelkenarın birkaç özelliği

$$Alan(PRST)=\frac12Alan(ABCD)$$

$$|RP|=\frac12|BD|, |RS|=\frac12|AC|$$

şeklinde sıralanabilir. Buna göre $|RP|=3$, $|RS|=4$ olup $RPS$ bir dik üçgendir. $Alan(PRST)=2\cdot Alan(RPS)=2\cdot \dfrac{3\cdot 4}{2} = 12$ dir. Böylece $Alan(ABCD)=2\cdot 12 = 24$ tür.

Hatırlatma: Bu çözümde $ABCD$ nin bir yamuk olduğu bilgisini kullanmadık. Yani, çözümümüz herhangi bir $ABCD$ dörtgeninde geçerlidir.

Aşağıdaki şekli, keserek,

şeklinde parçalara ayırıyoruz. Bunun sonucunda

şeklindeki parçalardan kaç tane oluşabileceğini bulunuz.

Çözüm:

Verilen bütün $22$ birim kareden oluşmaktadır. $3$ birim karelik parçadan $x$ tane, $4$ birim karelik parçadan $y$ tane kullanmış olalım. $3x+4y=22$ olmalıdır. Bu denklemin doğal sayılardaki $(x,y)$ çözüm çiftleri $(2,4)$ ve $(6,1)$ dir. Ancak $(x,y)=(2,4)$ ve $(x,y)=(6,1)$ durumlarına uygun kaplamalar bulmadan çözüm tamamlanmış olmaz. Örnek durumlar aşağıda verilmiştir:

$2^{m}+1$ sayısının $2^{n}-1$ ile bölünmesini sağlayan tüm $(m,n)$ pozitif tam sayı sıralı ikililerini bulunuz.

Çözüm:

Açıkça $n=1$ için $m$ her pozitif tamsayı değerini alabilir. $n=2$ için $2^n-1=3$ olduğundan $3|2^m+1$ ya da buna denk olarak $2^m \equiv -1 \pmod{3}$ olmasını sağlayan $m$ leri belirleyelim. $m=1,2,3,4,\dots$ değerleri için $2^m \equiv 2, 1, 2, 1, \dots \pmod{3}$ biçiminde periyodik olarak devam eder. Dolayısıyla $m=2k-1$ biçiminde pozitif tek tamsayılar çözümdür.

$n \geq 3$ için $m$ tamsayıları elde edemeyeceğiz. İddiamızı kanıtlamadan önce, bu kanaate varmamızı sağlayan fikirlerin nasıl oluştuğunu açıklamak daha faydalı olacaktır. $n \geq 3$ için bazı değerler vererek devam edeceğiz.

$n=3$ için $2^n-1=7$ olduğundan $7|2^m+1$ ya da buna denk olarak $2^m \equiv -1 \pmod{7}$ olmasını sağlayan $m$ değerleri (varsa) bulalım. $m=1,2,3,4,5, 6 \dots$ değerleri için $2^m \equiv 2, 4, 1, 2, 4, 1, \dots \pmod{7}$ biçiminde periyodik olarak devam eder. Dolayısıyla çözüm olabilecek $m$ değerleri yoktur.

$n=4$ için $2^n-1=15$ olduğundan $15|2^m+1$ ya da buna denk olarak $2^m \equiv -1 \pmod{15}$ olmasını sağlayan $m$ değerleri (varsa) bulalım. $m=1,2,3,4,5, 6, 7, 8 \dots$ değerleri için $2^m \equiv 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 1, \dots \pmod{15}$ biçiminde periyodik olarak devam eder. Yine çözüm olabilecek $m$ değerleri yoktur.

Şimdi, genel olarak $n \geq 3 $ için çözüm olmadığını ispatlayacak bir fikir oluşmuştur. $2^m \equiv -1 \pmod{2^n - 1}$ olmasını sağlayan $m$ değerleri var mıdır? $m=1,2, 3, \dots , n-1, n $ değerleri için $2^m \equiv 2, 4, 8, \dots , 2^{n-1}, 1 \pmod{2^n - 1}$ elde edilir. Yani $2^m \not\equiv -1 \pmod{2^n - 1}$ dir, çözüm yoktur.