Tübitak Ortaokul 2. Aşama - 2001 Çözümleri

Köşeleri $O$ merkezli bir çember üzerinde bulunan bir $ABCD$ yamuğunun, $[AB]$ ve $[CD]$ kenarları paralel olup, $s( \widehat{AOD})=60^{\circ}$ dir. Bu yamuğun yüksekliği $10$ ise, alanı nedir?

Çözüm:

Çözüm 1.
Kirişler dörtgeni olan bir $ABCD$ yamuğu ikizkenardır. Merkez açı-çevre açı'dan $m(\widehat{CAB})=m(\widehat{DBA})=\frac12 m(\widehat{AOB})=30^\circ$ dir. Köşegenlerin kesim noktası $E$, $[AB],[CD]$ kenarlarının orta noktası $G,F$ olsun. $FG \perp AB$ dir. $|DF|=\sqrt3 |EF|$ ve $|AG|=\sqrt3 |EG|$ olup $|AB|+|CD|=2\sqrt3 |FG|$ dir. $|FG|=10$ verildiğinden $|AB|+|CD|=20\sqrt3$ olur. $Alan(ABCD)=\dfrac{(|AB|+|CD|)\cdot |FG|}{2}$ bağıntısından $Alan(ABCD)=100\sqrt3$ elde edilir.

Çözüm 2.
$C$ den $AB$ ye inen yükseklik ayağı $H$ olsun. $|CH|=10$ ve $CAH$ dik üçgeninden $|AC|=20$ dir. $ABCD$ yamuğu ikizkenar olduğundan $|BD|=20$ dir. $Alan(ABCD)=\frac12 |AC|\cdot |BD|\cdot \sin 60^\circ$ eşitliğinden $Alan(ABCD)=100\sqrt3$ elde edilir.

$N > 1$ tam sayısını, kendisinden küçük pozitif tam sayıların her birine bölüp, bu bölümlerin bıraktığı kalanları topluyoruz. Bu toplam $N$ den küçükse, $N$ nin alabileceği bütün değerleri bulunuz.

Çözüm:

$i)$ $N$ çiftse,
$\dfrac{N}{2}+1$'den $N-1$'e kadar olan sayılar için sorudaki işlemi uygulayıp toplarsak elde edeceğimiz toplamın $N$'den küçük olması gerektiği aşikardır.Bu toplamdan, $$1+2+\cdots +(\dfrac{N}{2}-1)=\dfrac{(\dfrac{N}{2}-1)\cdot (\dfrac{N}{2})}{2}<N\Rightarrow N<10$$ bulunur.$N$ çift olduğundan $8,6,4,2$ olabilir. Denersek, $2,4,6$'nın sağladığını görürüz.
$ii)$ $N$ tekse,
Aynı işlemi $\dfrac{N-1}{2}+1$'den $N-1$'e kadar olan sayılar için yaparsak $N<8$ bulunur. $N$ tek olduğundan $3,5,7$ olabilir.Denersek sadece $3,5$ sağlar.

Dolayısıyla $N$'nin alabileceği değerler $2,3,4,5,6$ olur.

Her biri en çok $7$ kg ağırlığında olan toplam $270$ kg karpuzun $11$ taşıyıcı tarafından tek seferde taşınması gerekiyor. Her taşıyıcı, bir seferde en çok $30$ kg taşıyabiliyorsa, bu taşıma işleminin, tek tek karpuzların ağırlığı ne olursa olsun, yapılabileceğini gösteriniz.

Çözüm:

Karpuzları iki gruba ayıralım: $6$ kilogramdan fazla olanlar, $6$ kilogram veya daha hafif olanlar. Bunları $A$ ve $B$ grupları olarak isimlendirelim.

$A$ grubunda kaç karpuz olabileceğini belirleyelim. Her karpuzun ağırlığı $6$ kilogramdan fazla olduğu için $\dfrac{270}{6} = 45$ kavundan daha az olmalıdır; yani $A$'daki kavun sayısı en fazla $44$ tür. Her kişiye $4$ tane verebiliriz ve aşırı yükleme yapmamış oluruz. Çünkü $4$ karpuzun ağırlığı en fazla $ 4\cdot 7 = 28$ kilogramdır. Böylece $A$ grubundaki karpuzları taşıyıcılar arasında bölmüş olalım.

Şimdi $B$ grubundan ağırlığı $x$ kilogram olan bir karpuz alalım. $x \leq 6$ olur. İspatlamamız istenenin aksine, herkesin $30 - x$ kilogramdan fazla taşıdığını varsayalım, böylece kimse $x$ kilogramlık karpuzu taşıyamaz. Şu ana kadar taşınmış karpuzların toplam ağırlığı $y$ ise, $y>11(30-x)$ tir.

Bu durumda, $y$ nin üzerine $x$ ağırlığını da eklersek $y+x>11 (30-x) + x = 330-10x = 270$ olur. Halbuki toplam ağırlık $270$ olduğundan $y+x \leq 270$ tir. Bu bir çelişkidir.

O halde taşıyıcılardan birisi en fazla $30 - x$ kilogram taşıyor ve $x$ ağırlığındaki karpuzu bu taşıyıcıya verebiliriz. Tüm karpuzları, hiç kimsenin $30$ kilogramdan fazla taşımasına gerek kalmadan $11$ taşıyıcıya dağıtabiliriz.

Kaynak: AoPS