Tübitak Ortaokul 1. Aşama - 2003 Çözümleri
1
Bir $ABCD$ yamuğunda$,\ AB//DC,\ m(\widehat{DAB})=2m(\widehat{ABC}),\ |AD|=|DC|=1,\ |AB|=3$ olduğuna göre $|BC|$ nedir?
$\textbf{a)}\ \dfrac32 \qquad\textbf{b)}\ \sqrt3 \qquad\textbf{c)}\ \sqrt2 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac85 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac35 \sqrt5$
Çözüm:
Yanıt: $\boxed{B}$
$|BC|=k$ diyelim. $\widehat{DAB}$ açısının açıortayı çizilirse paralellikten ötürü bu açıortayın ayağı $C$ noktası olarak bulunur. Böylelikle eğer $m(\widehat{ABC})=\alpha $ denirse ikizkenarlıktan ve paralellikten $m(\widehat{BAC})=m(\widehat{DAC})=m(\widehat{DCA})= \alpha $ olarak bulunur. $ADC \sim ABC$ (açı-açı-açı) benzerliğinden $\dfrac{1}{k} = \dfrac{k}{3}$ olarak bulunur. Böylelikle $k^2 = 3$ ve $k = \sqrt{3}$ bulunur.
2
$n$ pozitif bir tam sayı ise $3^n$ nin $32$ ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisi olamaz?
$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 11 \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 25 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
3
İki basamaklı bir sayının rakamları toplamına bölümünden kalan en çok kaç olabilir?
$\textbf{a)}\ 13 \qquad\textbf{b)}\ 14 \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 16 \qquad\textbf{e)}\ 17$
4
Bir çemberin $[AC]$ ve $[BD]$ kirişleri birbirine dik$;\ |AB|=a,\ |CD|=b$ olduğuna göre$,$ çemberin çapı nedir?
$\textbf{a)}\ \sqrt{a^2+b^2+ab}$
$\textbf{b)}\ \sqrt{a^2+b^2-ab}$
$\textbf{c)}\ \sqrt{ab}$
$\textbf{d)}\ \sqrt{a^2+b^2}$
$\textbf{e)}\ a+b-\sqrt{ab}$
5
$125$ basamaklı bir yürüyen merdiven yukarıya doğru sabit bir hızla hareket ederken, Ahmet, merdivenden yürüyerek yukarı çıkıyor. İlk seferde merdivenin tepesine varana kadar $45$ basamak, ikinci seferde ise $55$ basamak çıkıyorsa, Ahmet'in ikinci seferki ortalama hızının ilk seferkine oranı nedir?
$\textbf{a)}\ \dfrac{11}{9} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac87 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{25}{16} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{88}{63} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
6
Bir sınıftaki her öğrenci gün boyunca $1,2,3$ ya da $4$ elma yemiştir. $2$ elma yiyenlerin sayısı, $3$ elma yiyenlerinkine eşit olduğuna ve öğrencilerin yedikleri toplam elma sayısı sınıftaki öğrenci sayısından $36$ fazla olduğuna göre, en az $3$ elma yemiş kaç öğrenci vardır?
$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 13 \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
7
Bir $ABC$ üçgeninin $[AC]$ kenarı üzerinde$,\ m(\widehat{DBC})=m(\widehat{DCB})$ olacak şekilde bir $D$ noktası alınıyor. $m(\widehat{ABD})=2m(\widehat{DBC}),\ |AD|=8$ ve $|DC|=2$ olduğuna göre $|BC|$ nedir?
$\textbf{a)}\ 2\sqrt2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt3 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac72 \qquad\textbf{e)}\ 4$
Çözüm:
Yanıt: $\boxed{B}$
$m(\widehat{DBC}) = m(\widehat{DCB}) = \alpha $ derirse $m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{ADB}) = 2 \alpha $ olur. İkizkenar üçgenlerden dolayı $|AB|=|AD| = 8 $, $|DB| = |DC| =2$ dir. $|BC|=x$ olsun. $ABC$ üçgeninde Stewart teoremi uygulanırsa
$$ 2^2 = \dfrac{8^2\cdot 2 + x^2\cdot 8}{8 + 2} - 8\cdot 2 $$
olur. Eşitliğin her iki yanını $5$ ile çarpıp $4$ ile sadeleştirirsek $5 = 16 + x^2 - 20$ olup $x=3$ bulunur.
8
Bir oyun aygıtına kırmızı ya da mavi jeton atabiliyoruz. Aygıt, her seferinde, attığımız jetonu yutup, diğer renkten beş jeton geri veriyor. Oyuna bir mavi jetonla başlıyor ve her adımda elimizdeki jetonlardan istediğimizi aygıta atabiliyoruz. Oyunun sonlu defa oynanması sonucunda, elimizde $x$ tane mavi, $y$ tane kırmızı jeton varsa, aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğru olabilir?
$\textbf{a)}\ x=y \qquad\textbf{b)}\ x=2y \qquad\textbf{c)}\ x=3y \qquad\textbf{d)}\ 5x=y \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
9
Hiçbiri bir diğerinin $3$ katı olmayan en çok kaç $51$ den küçük pozitif tam sayı vardır?
$\textbf{a)}\ 17 \qquad\textbf{b)}\ 36 \qquad\textbf{c)}\ 38 \qquad\textbf{d)}\ 39 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
10
Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{ABC})=100^{\circ}$ dir. $[AC]$ üzerinde $m(\widehat{DBC})=20^{\circ}$ olacak şekilde $D$ noktası ile $(AB]$ üzerinde $m(\widehat{ACE})=m(\widehat{BCE})$ olacak şekilde bir $E$ noktası alınıyor. $m(\widehat{CED})$ nedir?
$\textbf{a)}\ 10^{\circ} \qquad\textbf{b)}\ 15^{\circ} \qquad\textbf{c)}\ 20^{\circ} \qquad\textbf{d)}\ 22.5^{\circ} \qquad\textbf{e)}\ 25^{\circ}$
Çözüm:
Yanıt: $\boxed{A}$
$ABC$ üçgeninin $B$ köşesindeki dış açısı $\angle FBA = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$'dir. Dolayısıyla $BCD$ üçgeninde $BE$ dış açıortay ve $CE$ iç açıortaydır. Böylece $E$ noktası $BCD$ üçgeninde $C$'ye göre dış merkezdir. $DE$, $\angle BDA$'nın açıortayı olup $\angle ADE = \angle BDE$'dir. $\angle CED =\dfrac{\angle CBD}{2}$ özelliğinden $\angle CED = \dfrac{20^\circ}{2} = 10^\circ$ bulunur.
11
Üç basamaklı bir sayının, basamakları toplamına oranı en çok kaç olabilir?
$\textbf{a)}\ 99 \qquad\textbf{b)}\ 100 \qquad\textbf{c)}\ 101 \qquad\textbf{d)}\ 110 \qquad\textbf{e)}\ 111$
12
Bir traktör garajdan tarlaya giderken çeşmeye kadar ön tekerlek $n$ kez, yolun kalanında ise arka tekerlek $n^2$ kez dönüyor. Aynı yoldan geri gelirken ise, arka tekerlek $50$ kez dönüyor. $n$ pozitif bir tam sayı olduğuna göre, arka tekerleğin çapının ön tekerleğinkine oranı en çok kaç olabilir?
$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 7$
13
Bir $ABC$ üçgeninin $[AC]$ kenarı üzerinde alınan $H$ noktasından $AB$ ye çizilen paralel doğru, $BC$ yi $D$ noktasında kesiyor. $[BD]$ üzerinde alınan bir $E$ noktası ile $A$ dan geçen doğru, $HD$ yi $F$ de kesiyor. $|AB|=6$, $|BC|=12$, $|HD|=|DF|=3$ olduğuna göre $|ED|$ nedir?
$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac52 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac72 \qquad\textbf{e)}\ 4$
14
$2^x+1=3^y$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?
$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
Çözüm 1:
Yanıt: $\boxed{B}$
$y=1$ ve $y=2$ için $(x,y)=(1,1), (3,2)$ çözümlerini elde ederiz. Dolayısıyla $x\geq 4$ ve $y\geq 3$ durumunu göz önüne alabiliriz. $2^x \equiv 0 \pmod{16}$ olur. Böylece verilen denklemden $3^y\equiv 1 \pmod{16}$ yazarız. Öte yandan
$$ 3^1 \equiv 3, \quad 3^2\equiv 9, \quad 3^3 \equiv 11, \quad 3^4\equiv 1 \pmod{16} $$
olduğundan $y=4k$ biçiminde bir pozitif tam sayı olmalıdır. $3^{4k}-1 =2^x$ denkleminden $(3^k-1)(3^k+1)(3^{2k}+1)=2^x$ yazılır. Sol taraftaki çarpanların her biri $2$ nin bir pozitif tam sayı kuvvetine eşit olmalıdır. $3^k-1$ ve $3^k + 1$ sayıları arasındaki fark $2$ olduğundan yalnızca $3^k-1=2$ ve $3^k + 1=4$ mümkündür. Bu durumda $k=1$ olur ancak $3^{2k} + 1 = 3^2 + 1 = 10$ sayısı, $2$ nin bir tam sayı kuvveti değildir. Böylece $(x,y)=(1,1), (3,2)$ dışında başka çözüm olmadığını anlarız.
Çözüm 2:
Çözüm 2: Önceki çözüme benzer ama daha sade bir çözüm verebiliriz. Modülo $16$ yerine modülo $4$ kullanarak problemi çözebiliriz.
Yanıt: $\boxed{B}$
$y=1$ için $(x,y)=(1,1)$ çözümünü elde elde ederiz. Dolayısıyla $x\geq 2$ ve $y\geq 2$ durumunu göz önüne alabiliriz. $2^x \equiv 0 \pmod{4}$ olur. Böylece verilen denklemden $3^y\equiv 1 \pmod{4}$ yazarız. Öte yandan
$$ 3^1 \equiv 3, \quad 3^2\equiv 1 \pmod{4} $$
olduğundan $y=2k$ biçiminde bir pozitif tam sayı olmalıdır. $3^{2k}-1 =2^x$ denkleminden $(3^k-1)(3^k+1)=2^x$ yazılır. Sol taraftaki çarpanların her biri $2$ nin bir pozitif tam sayı kuvvetine eşit olmalıdır. $3^k-1$ ve $3^k + 1$ sayıları arasındaki fark $2$ olduğundan yalnızca $3^k-1=2$ ve $3^k + 1=4$ mümkündür. Bu durumda $k=1$ olup $(x,y) = (3, 2)$ çözümü elde edilir.
Sonuç olarak, denklemin tüm pozitif tam sayı çözümlerinin $(x,y)=(1,1), (3,2)$ ikilileri olduğunu anlarız.
15
$n^2-m^2=124$ eşitliğini sağlayan kaç $(n,m)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?
$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
16
Bir çemberin $[AB]$ kirişi$,$ çember üzerinde bulunan bir $T$ noktasında çizilen teğete paralel$;\ |AT|=5$ ve $|AB|=6$ dır. Çemberin yarıçapı nedir?
$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{25}{8} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac72 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac92$
17
Bir sınıftaki öğrencilerin $\% 99$ u beyaz gömlek giyiyor. Beyaz gömlek giyen öğrencilerin bazıları sınıftan çıkıyor ve kalan öğrencilerin $\% 96$ sının beyaz gömlek giydiği gözleniyor. Sınıftaki öğrencilerin yüzde kaçı dışarı çıkmıştır?
$\textbf{a)}\ \%3 \qquad\textbf{b)}\ \%24 \qquad\textbf{c)}\ \%60 \qquad\textbf{d)}\ \%75 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
18
$3 \times 3$ bir satranç tahtasının her karesine, her satır, sütun ve köşegendeki sayıların toplamı $0$ olacak biçimde, $-10$ ile $10$ arasında tam sayılar yazılıyor. İki karşı köşedeki sayıların toplamı en çok kaç olabilir?
$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
19
$[AB]$ çaplı çemberin $[DC]$ kirişi$,\ [AB]$ yi $P$ noktasında kesiyor. $m(\widehat{BPD})=60^{\circ},\ |CP|=a,\ |PD|=b$ olduğuna göre$,$ çemberin yarıçapı nedir?
$\textbf{a)}\ \sqrt{a^2+b^2-ab} \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}} \qquad\textbf{c)}\ \sqrt{a^2+b^2+ab} \qquad\textbf{d)}\ a+b-\sqrt{ab} \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{ab}$
20
$a$ gerçel sayısının kaç değeri için $ax-y=1$ ve $(a-3)x+(a+1)y=-2$ eşitliklerini sağlayan $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi yoktur?
$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
21
Herhangi iki basamağının toplamının son basamağı, diğer iki basamağının toplamının son basamağına eşit olan, kaç dört basamaklı sayı vardır?
$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 9 \qquad\textbf{c)}\ 26 \qquad\textbf{d)}\ 36 \qquad\textbf{e)}\ 52$