Tübitak Ortaokul 1. Aşama - 2002 Çözümleri

Bir ikizkenar $ABC$ üçgeninde$,\ [BC]$ tabanının orta noktasını $H;\ [BH]$ üzerinde alınan bir noktayı da $P$ ile gösterelim. $P$ den $[BC]$ ye çizilen dik$,\ AB$ yi $M;\ AC$ yi de $N$ noktasında kesiyor. $|PM|+|PN|=2|AH|$ ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\textbf{a)}\ |BP|=|PH|$ olmalıdır.
$\textbf{b)}\ |BP|=2|PH|$ olmalıdır.
$\textbf{c)}\ |PH|=2|BP|$ olmalıdır.
$\textbf{d)}\ $Böyle bir $P$ noktası yoktur.
$\textbf{e)}\ $ Hiçbiri

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{E}$

$ABC$ ikizkenar üçgen ve $[BC]$ taban olarak verildiğinden, $m(\widehat {B}) = m(\widehat{C})$ olduğunu anlıyoruz. Bu durumda, dik üçgenlerden $m(\widehat {CNP}) = m(\widehat{BMP})=m(\widehat{NMA})$ olup $|AN|=|AM|$ elde edilir. $ANM$ ikizkenar üçgeninde $[AD]$ yüksekliğini çizelim. $|ND|=|DM|=x$ olur. $|PM|=y$ diyelim. Böylece $|PM| + |PN| = y + (2x + y) = 2(x+y) = 2|AH|$ olur. Yani, $$|PM| + |PN| = 2|AH|$$
eşitliğinin sağlanması için başka bir koşula ihtiyaç yoktur.

Görünüşleri aynı olan $101$ bilyeden $100$ tanesinin ağırlığı aynı olup, birinin ağırlığı diğerlerinden farklıdır. İki kefeli bir teraziyle, ağırlığı farklı olan bilyenin diğerlerinden daha mı hafif, yoksa daha mı ağır olduğunu, en az kaç tartıda bulabiliriz?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 11$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{A}$

Bilyelerden birini ayıralım. Kalan bilyeleri $50$'şerli iki gruba ayırıp tartarız.

1. durum: Eğer eşitlik varsa, ayırdığımız bilye farklı olandır. Bu farklı olan bilyeyi, eşit ağırlıklı bilyelerden herhangi biriyle tartarak karşılaştırırız. Farklı olanın ağır mı, hafif mi olduğuna karar verebiliriz.

2. durum: Eğer eşitlik yoksa, ağır olan $50$'li grubu göz önüne alalım. Bunları da $25$'erli iki gruba ayırıp tartarız.
$\bullet $ Eğer eşitlik varsa, farklı olan bilye diğer $50$'li grup içindedir. Onun hafif bir bilye olduğunu anlarız.
$\bullet $ Eğer eşitlik yoksa, farklı olan bilyenin ağır olduğunu ve ağır gelen $25$'li grup içinde olduğunu anlarız.

Böylece her durumda, $2$ tartıda farklı bilyenin ağır mı, hafif mi olduğuna karar verebiliriz.

$\sqrt x-3 \geq \sqrt{x-y}$

eşitsizliğini gerçekleyen bir $x$ gerçel sayısının bulunmasını sağlayan en küçük $y$ gerçel sayısı nedir?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 12$

$AD$ nin $BC$ ye paralel olduğu bir $ABCD$ yamuğunda $|AD|=1$ ve $|BC|=2$ dir. Yamuğun $[BC]$ tabanına paralel olan bir doğru$,\ [AB]$ kenarını $P;\ [CD]$ kenarını ise $Q$ noktasında kesiyor. $|AP|:|PB|=2:3$ ise $|PQ|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac73 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac74 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac53 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac32 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac75$

Bir köyde yetişkin erkeklerin $\dfrac23$ si$,$ yetişkin kadınların da $\dfrac37$ ü evlidir. Evli çiftlerin tümü birlikte köyde yaşıyorsa$,$ bu köydeki yetişkinlerin kaçta kaçı evlidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{11}{23} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{12}{23} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{5}{11} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{6}{11} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$n$ pozitif bir tam sayı ve $x$ pozitif bir gerçel sayı olmak üzere$,$

$nx+\dfrac{1}{x^n}$

ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac32 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac43 \qquad\textbf{d)}\ 2 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Kenar uzunluğu $1$ olan bir $ABCD$ karesinin $[AC]$ köşegeni üzerinde bir $E$ noktası$;\ [AB]$ kenarı üzerinde de bir $F$ noktası alınıyor. $|AE|=|EF|=|FB|$ ise $CEFB$ dörtgeninin alanı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac12 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt2}{4} \qquad\textbf{c)}\ \sqrt2-1 \qquad\textbf{d)}\ 1-\dfrac{\sqrt2}{2} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac18 (4-\sqrt2)$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{C}$

$|AE|=|EF|=|FB|=a$ diyelim. $|AF|=1-a$ olur. Ayrıca $m(\widehat{CAB})=45^\circ$ ve $AEF$ ikizkenar dik üçgendir. Bu durumda $CEF \cong CBF$ eş üçgenler olduğundan $|CE|=|CB|=1$ dir. $|AC|=\sqrt{2}$ olduğundan $1+a = \sqrt{2}$ olup $a=\sqrt{2} - 1 $ elde edilir. $Alan(CEFB) = 2 Alan(BCF) = |FB|\cdot |BC| = a\cdot 1 = \sqrt{2} - 1$ elde edilir.

$\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}$

eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ asal sıralı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

Bir aritmetik dizide ilk $2002$ terimin toplamı $10;$ ilk $10$ terimin toplamı da $2002$ ise bu dizinin ortak farkı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -\dfrac{1}{546} \qquad\textbf{b)}\ -\dfrac{1006}{5005} \qquad\textbf{c)}\ -\dfrac{1}{1006} \qquad\textbf{d)}\ -\dfrac{996}{5005} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Dışbükey bir dörtgenin iki kenarının uzunlukları $1$ ve $4$ olup$,$ bu dörtgenin $2$ uzunluğundaki bir köşegeni$,$ dörtgeni iki ikizkenar üçgene ayırıyorsa, bu dörtgenin çevresi kaçtır?

$\textbf{a)}\ 11 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{25}{2} \qquad\textbf{c)}\ 13 \qquad\textbf{d)}\ 14 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{29}{2}$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{A}$

Üçgen eşitsizliği gereği kenar uzunlukları $1,1,2$ veya $2,2,4$ olan ikizkenar üçgenler olamaz. Buna göre, tek mümkün durum şekildeki gibi $|AB|=|AC|=2$, $|DA|=|DC|=4$ ve $|BC|=1$ olan bir $ABCD$ dörtgenidir. $Çevre(ABCD)=1+4+4+2=11$ olur.

Kendisiyle, ondalık gösterimindeki basamakların ters sırada yazılmasıyla elde edilen sayının toplamı bir tam kareye eşit olan kaç tane iki basamaklı pozitif tam sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 10$

$5(x+y)=xy$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ sıralı tam sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Bir $ABC$ üçgeninde $s(\widehat B)-s(\widehat C) = 90^{\circ}$ dır. Yüksekliklerin kesişim noktası $H$ olduğuna göre $\dfrac{Alan(ABC)}{Alan(HBC)}$ nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac12 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac23 \qquad\textbf{c)}\ 1 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac32 \qquad\textbf{e)}\ 2$

$P(x)=x^2+ax+b$ fonksiyonu$,\ P(-1)>0$ ve $P \left( \dfrac12 \right )<0$ koşullarını sağlıyorsa$,\ P(2)$ aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$\textbf{a)}\ 3\sqrt3 \qquad\textbf{b)}\ 1+\sqrt2 \qquad\textbf{c)}\ 6-\sqrt3 \qquad\textbf{d)}\ -2 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$p$ asal sayısının $n$ yi bölmesinin$,\ p-1$ in $n-1$ sayısını bölmesini gerektirdiği$,$ ondalık yazımı iki basamaklı olan kaç $n$ çift pozitif tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 5$

Bir $ABCD$ dikdörtgeninin iç bölgesinde bulunan bir $P$ noktası için$,\ |PB|=5,\ |PC|=10$ ve $|PD|=14$ ise $|PA|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 11 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 13 \qquad\textbf{d)}\ 14 \qquad\textbf{e)}\ 15$

$a,b,c \in \{0,1,...,9\}$ ve $abc,ab,a$ üç sayının ondalık yazılımları olmak üzere$,\ abc \cdot ab \cdot a=2002$ ise $b$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 2 \qquad\textbf{e)}\ 1$

$x,y \in \{0,1,...,9\}$ olmak üzere ondalık yazılımı $2x57y3$ olan bir sayının $33$ ile bölünmesini sağlayan kaç $(x,y)$ sıralı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Bir $ABCD$ paralelkenarının alanı $20$ olup$,\ [BC]$ kenarının orta noktası $P$ dir. $PA$ doğrusu$,\ [BD]$ köşegenini $R$ noktasında kesiyorsa$,$ $Alan(PRDC)$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{25}{3} \qquad\textbf{b)}\ 9 \qquad\textbf{c)}\ 10 \qquad\textbf{d)}\ 12 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{25}{2}$

$x_1 \leq x_2 \leq x_3$ asal sayıları$,$

$x_1+x_2+x_3=68$

$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=1121$

eşitliklerini sağlıyorsa$,\ x_2$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 7 \qquad\textbf{b)}\ 13 \qquad\textbf{c)}\ 19 \qquad\textbf{d)}\ 23 \qquad\textbf{e)}\ 29$

Bir satranç turnuvasına katılan her oyuncu, diğer oyunculardan her biriyle tam olarak bir kez karşılaıyor. Her oyunda, yenen oyuncu $1$, yenilen ise $0$ puan kazanırken, beraberlik durumunda her oyuncu $1/2$ puan kazanıyor. Turnuvanın bitiminde, oyunculardan her birinin, elde ettiği toplam puanın tam olarak yarısını, en düşük toplam puanlı üç oyuncu ile yaptığı karşılaşmalardan elde etmiş olduğu gözleniyor. Bu turnuvaya kaç oyuncu katılmıştır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 10$