Tübitak Ortaokul 1. Aşama - 2000 Çözümleri

Alanı $16\sqrt{15}$ olan bir $ABC$ ikizkenar üçgeninde $|AB|=|AC|=2|BC|$ ise bu üçgende $B$ den $AC$ doğrusuna indirilen dikmenin ayağının $C$ noktasına uzaklığı nedir?

$\textbf{a)}\ \sqrt{15} \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ \sqrt5 \qquad\textbf{e)}\ \sqrt2$

$(x^2-3x+1)^{x+1}=1$ eşitliğinin kaç tam sayı çözümü vardır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 4$

Bir kitabın sayfalarını numaralamak için toplam olarak $2933$ rakam kullanılmıştır. Bu kitap kaç sayfadır?

$\textbf{a)}\ 1015 \qquad\textbf{b)}\ 1100 \qquad\textbf{c)}\ 1105 \qquad\textbf{d)}\ 1001 \qquad\textbf{e)}\ 1010$

Tabanı kare ve yüksekliği, taban köşegeninin yarısına eşit olan bir düzgün piramidin taban köşegeninin uzunluğu $12$ ise yanal alanı nedir?

$\textbf{a)}\ 144 \qquad\textbf{b)}\ 48\sqrt3 \qquad\textbf{c)}\ 60\sqrt2 \qquad\textbf{d)}\ 48 \qquad\textbf{e)}\ 72\sqrt3$

$\begin{array}{cccc} 8 & 1 & 2 & 7 \\ 3 & a & b & 1 \\ 6 & c & d & 9 \\ 6 & 5 & 7 & 3 \end{array}$

dizilişinde $a,b,c,d$ sayılarının her birisi$,$ sağındaki$,$ solundaki$,$ üstündeki$,$ altındaki dört komşusunun aritmetik ortalamasına eşit ise $ad-bc$ nedir?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 4$

Parantezler yerleştirilerek $1:2:3:4:5:6$ ifadesinden elde edilebilecek en büyük sayı nedir?

$\textbf{a)}\ 360 \qquad\textbf{b)}\ 80 \qquad\textbf{c)}\ 45 \qquad\textbf{d)}\ 180 \qquad\textbf{e)}\ 720$

Kenar uzunlukları $a$ ve $b\ (a>b)$ olan dikdörtgen biçiminde bir kağıt, bir köşegeninden bükülerek ikiye katlanıyor ve tek kat kalan kısımlar kesilerek kağıt tekrar açılıyor. Ortaya çıkan şeklin alanı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{b}{2a}(a^2+b^2) \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{a}{4b}(a^2+b^2) \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{a^2+b^2}{2} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{a^2}{\sqrt2b}\sqrt{a^2+b^2} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{b^2}{\sqrt2a}\sqrt{a^2+b^2}$

$10^{999}$ sayısının rastgele seçilmiş bir pozitif böleninin $10^{100}$ ün bir tam katı olması olasılığı nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{11}{111} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{11} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{9}{10} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{81}{100} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{10}$

$x,y,z$ pozitif tam sayılar ve

$x+\dfrac{1}{y+\dfrac{1}{z}}=\dfrac{30}{13}$

ise $z^3-xy$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 58 \qquad\textbf{b)}\ 54 \qquad\textbf{c)}\ 52 \qquad\textbf{d)}\ 49 \qquad\textbf{e)}\ 46$

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $[AD]$ ve $[BE]$ iki yükseklik olmak üzere$,\ [AB]$ ve $[DE]$ nin orta noktaları $F$ ve $G$ ile gösterildiğinde$,\ |DE|=30$ ve $|AB|=34$ ise $|FG|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 16 \qquad\textbf{b)}\ 10\sqrt2 \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 6\sqrt2$

$T(n)$ ile $n$ pozitif tam sayısının rakamlarının toplamı gösterilsin. $T(n)+3n=2000$ eşitliğini sağlayan kaç tane üç basamaklı $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ \text{3 ten çok}$

$x_1$ ve $x_2$ sayıları $ax^2+bx+c=0$ denkleminin kökleri$;\ \dfrac{x_1}{x_2}$ ve $\dfrac{x_2}{x_1}$ sayıları da $Ax^2+Bx+1=0$ denkleminin kökleri ise $B$ nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{b^2}{ac}-2 \qquad\textbf{b)}\ 2-\dfrac{b^2}{c} \qquad\textbf{c)}\ 2-\dfrac{b^2}{ac} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{b^2}{c}-2 \qquad\textbf{e)}\ 2-\dfrac{ab^2}{c}$

Çözüm 1:

Yanıt: $\boxed C$

$Ax^2 + Bx + 1 = 0$ için Vieta Formüllerini kullanalım.
Kökler çarpımı, $ \dfrac {1}{A}= \dfrac{x_1}{x_2} \cdot \dfrac{x_2}{x_1} = 1 \Rightarrow A = 1$.
Kökler toplamı, $\dfrac{-B}{A} = \dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = \dfrac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \dfrac {(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = -B \Rightarrow B = \dfrac {2x_1x_2-(x_1+x_2)^2}{x_1x_2} = 2 - \dfrac {(x_1 + x_2)^2}{x_1x_2}$.

$ax^2 + bx + c = 0$ denkleminin kökler toplamı $x_1 + x_2 = \dfrac {-b}{a}$, kökler çarpımı $x_1x_2 = \dfrac {c}{a}$ bilgilerini yerine yazarsak $$B= 2 - \dfrac {\left( \dfrac {-b}{a} \right)^2}{\dfrac ca} = 2 - \dfrac {b^2}{ac}$$

Çözüm 2:

Değer vererek çözüme gidelim. $a=1$ dersek şıklarda eş sonuçlar oluşacak. O halde $a \neq 1$ vermeye çalışalım.
$ax^2 + bx + c = (2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$ olsun. Kökler $x_{1,2} = \dfrac 12$ olacaktır.
Bu durumda $\dfrac {x_1}{x_2}=\dfrac {x_2}{x_1} = 1$ ve $Ax^2 + Bx + 1 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$ olacaktır.

$a=4$, $b=-4$, $c=1$ iken $B=-2$ çıkmalı.
Bu durumu şıklardan sadece $\boxed C$ sağlar.

Çözüm 3:

Vieta Formüllerini bilmeyenler için bir çözüm yapalım. (Aslında ilk çözümün benzeri olacak.)

Kökleri $x_1$ ve $x_2$ olan denklem. $ ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)= ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 = 0$ olmalı. Buradan $b = -a(x_1 + x_2)$, $c = ax_1x_2$ elde edilir.

Kökleri $\dfrac {x_1}{x_2}$ ve $\dfrac {x_2}{x_1}$ olan denklem de $Ax^2 + Bx + 1 = A\left ( x -\dfrac {x_1}{x_2} \right ) \left ( x - \dfrac {x_2}{x_1} \right ) = Ax^2 - A\left ( \dfrac {x_1}{x_2} + \dfrac {x_2}{x_1} \right ) + A= 0$ olmalı. Buradan $A=1$ ve $B = -\left ( \dfrac {x_1}{x_2} + \dfrac {x_2}{x_1} \right ) = -\dfrac {x_1^2 +x_2^2}{x_1x_2}$ elde edilir.

$b^2 = a^2(x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2) = a^2(x_1^2 + x_2^2 + \dfrac {2c}a) \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = \dfrac {b^2}{a^2} - \dfrac {2c}a$.
$$B = -\dfrac {\dfrac {b^2}{a^2} - \dfrac {2c}a}{\dfrac ca} = 2 - \dfrac {b^2}{ac}$$

Bir $ABCD$ karesinde köşegenlerin kesişim noktası $E,\ BAC$ açısına ait açıortayın $[DB]$ ve $[BC]$ ile kesişim noktaları$,$ sırasıyla $F$ ve $G$ ile gösterildiğinde$,\ |EF|=\sqrt2$ ise $|GC|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac32 \sqrt2 \qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt2 \qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt2$

Kitabının sayfa numaralarının toplamını bulmak isteyen bir öğrenci bir sayfanın numarasını dalgınlıkla iki kez hesaba katıyor ve sonuçta $2000$ buluyor. İki kez hesaba katılan sayfa numarası nedir?

$\textbf{a)}\ 66 \qquad\textbf{b)}\ 67 \qquad\textbf{c)}\ 45 \qquad\textbf{d)}\ 55 \qquad\textbf{e)}\ 47$

Bir pozitif tam sayının $9$ katının rakamlarının toplamına bu sayının "özsayısı" diyelim. Tüm iki basamaklı sayıların özsayılarının toplamı nedir?

$\textbf{a)}\ 2115 \qquad\textbf{b)}\ 1125 \qquad\textbf{c)}\ 1918 \qquad\textbf{d)}\ 1215 \qquad\textbf{e)}\ 1999$

Çap uzunluğu $6$ olan $[AB]$ çaplı yarım çemberin $[AD]$ ve $[DC]$ kirişlerinin her birinin uzunluğu $2$ ise $[BC]$ kirişinin uzunluğu nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{14}{3} \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac72 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt3$

Çözüm 1:

Yanıt: $\boxed A$

$AD$ ile $BC$ doğruları $E$ de kesişsin.
Çapı gördüğü için $\angle BDA = 90^\circ$.
Eş kirişleri gören çevre açılar eşit olacağı için $\angle ABD = \angle CBD$.
Bu durumda $AB = BE = 6$ ve $ED=DA = 2$ olacaktır.
$E$ noktasının çembere göre kuvvetinden $ED \cdot EA = EC \cdot EB \Rightarrow 2\cdot 4 = EC \cdot 6 \Rightarrow EC = \dfrac 43$.
$CB = EB - EC = 6 - \dfrac 43 = \dfrac {14}3$.

Çözüm 2:

Çemberin merkezi $O$ olsun. $AOCD$ bir deltoittir. $$\text{Alan}(AOCD) = \text{Alan}(AOD) + \text{Alan}(DOC) = 2\cdot \text{Alan}(AOD)$$
Heron formülünden $\text{Alan}(AOD) = \sqrt{4\cdot 1 \cdot 1 \cdot 2} = 2\sqrt 2$.
Deltoidin dik kesişen köşegenlerinden $$\text{Alan}(AOCD) = \dfrac 12 \cdot AC \cdot DO = \dfrac 32 \cdot AC = 4\sqrt 2 \Rightarrow AC =\dfrac {8\sqrt 2}{3}$$ Çapı gören çevre açıdan $\angle ACB = 90^\circ$ ve Pisagor'dan $CB^2 = AB^2 - AC^2 = 6^2 - \left ( \dfrac {8\sqrt 2}{3} \right )^2 = \dfrac {196}{9} \Rightarrow CB = \dfrac {14}3$.

Çözüm 3:

$CB=x$ diyelim.
Çapı gören çevre açılardan, $BD^2 = AB^2 - AD^2 = 6^2 - 2^2 = 32$, $AC^2 = AB^2 - CB^2 = 36-x^2$.
$ABCD$ kirişler dörtgeninde Ptolemy uygularsak $BD \cdot AC = AB \cdot CD + AD \cdot BC$.
$$32(36-x^2) = (2x + 12)^2 \Rightarrow 8(36-x^2) = (x+6)^2 \Rightarrow 9x^2 + 12x - 7\cdot 36 = (9x - 7\cdot 6)(x+6) \Rightarrow x = \dfrac{42}9 = \dfrac {14}3$$

Çözüm 4:

$BCD$ yayı üzerinde $AD = BE = 2$ olacak şekilde bir $E$ noktası alalım.
$DCEB$ bir ikizkenar yamuktur. Dolayısıyla $BC= DE = x$ tir.
Benzer şekilde $ADEB$ de bir ikizkenar yamuktur.
$ADEB$ ikizkenar yamuğunda Pisagor'dan köşegenler, $\sqrt {6^2 - 2^2} = \sqrt {32}$ çıkar.
Ptolemy'den $\sqrt {32} \cdot \sqrt {32} = 6x + 4 \Rightarrow 6x = 28 \Rightarrow x = \dfrac {14}{3}$.

Ptolemy yerine Öklit'ten de sonuca gidebiliriz.
$D$ ve $E$ den çapa inilen yüksekliklerin ayakları sırasıyla $F$ ve $H$ olsun. $AF \cdot AB = AD^2 = BE^2 = BH \cdot AB \Rightarrow AF = BH = \dfrac 23$ ve $BC=ED = AB - AF - BH = 6 - \dfrac 43 = \dfrac {14}{3}$ elde ederiz.

Çözüm 5:

$\angle ABD = \angle DBC = \alpha$.
$\angle ADB = 90^\circ$.
$\triangle ABD$ de, $\sin \alpha = \dfrac 26 = \dfrac 13$.

$\triangle ACB$ de, $\cos 2\alpha = \dfrac {CB}{6} = 1 - 2\sin^2 \alpha = 1 - \dfrac 29 = \dfrac 79 \Rightarrow CB = \dfrac {14}{3}$.

Çözüm 6:

$\angle BAD = \alpha$ dersek $\angle BCD = 180^\circ - \alpha$ olur.
Pisagor'dan $BD^2 = AB^2 - AD^2 = 32$.
$\triangle BCD$ de Kosinüs Teoreminden $BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2\cdot BC \cdot CD \cdot \cos \angle BCD$.
$$32 = 2^2 + x^2 - 2 \cdot 2 \cdot x \cdot \cos (180^\circ - \alpha) = x^2 + 4 + 4x \cdot \cos \alpha = x^2 + \dfrac 43 \cdot x + 4$$ $$3x^2 + 4x - 28\cdot 3 = (3x - 14)(x+6) \Rightarrow x = \dfrac {14}{3}$$

On iki terimli bir sayı dizisinin ilk terimi $12,$ son terimi $21$ dir. Bu dizinin ardışık numaralı her üç teriminin toplamı $121$ ise sekizinci terimi kaçtır?

$\textbf{a)}\ 91 \qquad\textbf{b)}\ 88 \qquad\textbf{c)}\ 21 \qquad\textbf{d)}\ 12 \qquad\textbf{e)}\ \text{Veriler yetersizdir}$

Bir kenarının uzunluğu $10$ birim olan eşkenar üçgenin kenarlarına eşit aralıklarla paraleller çizilerek her kenar $10$ parçaya bölünüp küçük eşkenar üçgenler oluşturuluyor. Kenar uzunluğu $1$ birim olan üçgenlerden toplam olarak en az kaç kenar silinmelidir ki kalan şekilde hiç üçgen bulunmasın?

$\textbf{a)}\ 55 \qquad\textbf{b)}\ 50 \qquad\textbf{c)}\ 45 \qquad\textbf{d)}\ 60 \qquad\textbf{e)}\ 65$

Bir $ABCD$ karesinin $A$ köşesinin ve $[AB]$ kenarının orta noktasının$,$ kareyi sadece $D$ noktasında kesen bir $d$ doğrusuna uzaklıkları$,$ sırasıyla $10$ ve $22$ ise $C$ noktasının $d$ doğrusuna uzaklığı nedir?

$\textbf{a)}\ 16 \qquad\textbf{b)}\ 10\sqrt3 \qquad\textbf{c)}\ 15\sqrt2 \qquad\textbf{d)}\ 24 \qquad\textbf{e)}\ 20$

$3^m-1=n^3$ denklemini sağlayan kaç $(m,n)$ pozitif tam sayı sıralı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ \text{3 ten çok}$

$1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1$ dizisi$,$ her hamlede sadece iki teriminin kendi aralarında yerleri değiştirilerek $x_1,x_2,...,x_{11}$ dizisine dönüştürülüyor. $x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_{11}$ koşulunun sağlanması için en az kaç hamle yapılmalıdır?

$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 6 \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 9$