Tübitak Ortaokul 1. Aşama - 1998 Çözümleri

Bir ayrıtının uzunluğu $1$ olan küpler üst üste konularak tüm alanı $A$ olan bir kare dik prizma yapılırsa, $A$ sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 16 \qquad\textbf{c)}\ 26 \qquad\textbf{d)}\ 36 \qquad\textbf{e)}\ 44$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed C$

Toplam alan; en alttaki küpün alt yüzeyinden, en üstteki küpün üst yüzeyinden, her küpün 4 yan yüzeyinden oluşur. Toplamda $n$ birim küp varsa, toplam alan $4n+2$ olacaktır. Şıklardan sadece $26$ sayısının $4$ e bölümümden kalan $2$ dir.

Aşağıdakilerden hangisi $51$ ardışık tam sayının toplamı olamaz?

$\textbf{a)}\ -255 \qquad\textbf{b)}\ -102 \qquad\textbf{c)}\ 0 \qquad\textbf{d)}\ 850 \qquad\textbf{e)}\ 5100$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed D$

$(n+1) + (n+2) + \dots + (n+51) = 51n + \dfrac{51\cdot 52}{2} = 51(n+26)$ toplamı $51$ sayısına tam bölünür. Şıklardan $850$ sayısı $51$ e tam bölünmez.

$A$ ve $B$ köylerinden birer traktör aynı anda sabit hızlarla birbirlerine doğru hareket ediyor. Traktörlerin karşılaştıkları andan $4$ saat sonra $A$ dan hareket eden $B$ ye, yine karşılaşma anından $9$ saat sonra $B$ den hareket eden $A$ ya varıyor. Traktörler hareket ettikten kaç saat sonra karşılaşmıştır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 8$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed C$

$A$ dan hareket eden traktörün hızı $v_A$, $B$ den hareket eden traktörün hızı $v_B$, traktörlerin karşılaşma süreleri $t$ olsun.

$v_A\cdot t = v_B\cdot 9$
$v_B\cdot t = v_A\cdot 4$

Taraf tarafa çarparsak $t^2 =36$ ve $t=6$ saat elde edilir.

$ABC$ bir eşkenar üçgen$,\ E$ ve $D$ sırasıyla $[AB]$ ve $[AC]$ üzerinde $|AE|=|CD|$ koşulunu sağlayan noktalar ve $s(\widehat{DBC})=20^{\circ}$ ise $s(\widehat{AEC})$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 100 \qquad\textbf{b)}\ 102 \qquad\textbf{c)}\ 105 \qquad\textbf{d)}\ 108 \qquad\textbf{e)}\ 110$

Çözüm 1:

Yanıt: $\boxed A$

$|BC| = |CA|$, $|CD|=|AE|$ ve $s(\widehat {BCD})=s(\widehat {CAE})=60^\circ$ olduğu için $\triangle BCD \cong \triangle CAE$ $(KAK)$ dir. Bu durumda $s(\widehat {AEC})=s(\widehat {CDB})=100^\circ$ olur.

Çözüm 2:

$ABC$ eşkenar üçgeninde $[BD]$ keseni ile $[CE]$ keseni kenarları aynı oranda bölmektedir. Bu durumda açıları da aynı şekilde böleceklerdir: $s(\widehat {ACE})=s(\widehat {CBD})=20^\circ$.
Basit açı hesaplarıyla, $s(\widehat {AEC})=100^\circ$ elde edilir.

$a^2x^2+\sqrt{x-2\sqrt5}+4=4ax$ denkleminin en az bir $x$ gerçel çözümünün olmasını sağlayan $a$ değeri nedir?

$\textbf{a)}\ \sqrt5 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt5}{5} \qquad\textbf{c)}\ \sqrt2 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{\sqrt2}{2} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed B$

Biraz düzenlemeyle $$\underbrace{(ax-2)^2}_{\geq 0} + \underbrace{\sqrt{x-2\sqrt 5}}_{\geq 0} = 0$$ elde ederiz. Denklemin gerçel çözümünün olabilmesi için $$x=2\sqrt 5 \quad \text{ve} \quad ax = 2$$ olması gerekir. Buradan $a=\dfrac{2}{2\sqrt 5}=\dfrac {\sqrt 5}{5}$ elde edilir.

Bir kitap rafında $15$ i mavi, $2$ si kırmızı kaplı $17$ kitap dizili durmaktadır. Bu raftan rastgele ardışık üç kitap alındığında bunların içinde en az bir tane kırmızı kaplı kitabın bulunması olasılığının $\dfrac{1}{5}$ olduğu bilinmektedir. Aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$\textbf{a)}$ İki kırmızı kaplı kitabın arasında tam olarak bir mavi kaplı kitap vardır.
$\textbf{b)}$ Kırmızı kaplı kitaplardan biri kitap sırasının en sonundadır.
$\textbf{c)}$ İki kırmızı kaplı kitap bitişiktir.
$\textbf{d)}$ Kırmızı kaplı kitaplardan hiçbiri kitap sırasının en başında değildir.
$\textbf{e)}$ Hiçbiri

Çözüm:

Yanıt: $\boxed E$

$17$ kitap arasından ardışık üç kitap $(1,2,3)$, $(2,3,4)$, $\ldots$, $(15,16,17)$ olmak üzere $15$ farklı şekilde seçilebilir. Bu durumda istenen olasılığın $\dfrac 15$ olması için en az bir kırmızı kitabın olduğu ardışık üçlülerin sayısının tam olarak $3$ olması gerekir.

$MMM\dots MMMKMK$ dağılımında $K$ içeren ardışık üçlülerin sayısı $3$ tür: $(13,14,15),(14,15,16),(15,16,17)$
Bu durumda iki kırmızı kitabın arasında tam olarak bir mavi kitap vardır. Aynı zamanda sıranın sonunda kırmızı kitap vardır. Yine aynı zamanda kırmızı kitapların hiçbiri sıranın başında değildir. O halde yanıt $A,B,D$ şıklarından biri olamaz.

$(C)$ şıkkına bakalım. $MKKMMM\dots M$ dağılımında tam olarak $3$ ardışık üçlü en az bir kırmızı kitap içerir. O halde aradığımız yanıt $(C)$ de değil.

$ABCD$ bir dikdörtgen$,\ [CD]$ nin orta noktası $E,\ [EA]$ nın orta noktası $F,\ |AB|=4$ ve bu dikdörtgenin alanı $8$ ise $\dfrac{|BF|}{|FA|}$ nedir?

$\textbf{a)}\ \sqrt5 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac32 \qquad\textbf{d)}\ \sqrt3 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{2\sqrt3}{3}$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed A$

$\triangle ADE$ ve $\triangle BCE$ birer $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ üçgenidir.
Bu durumda $s(\widehat{BEA})=90^\circ$ ve $|BE|=|AE|=2|AF|=2|EF|=2\sqrt 2$.
$\triangle BEF$ dik üçgeninde Pisagordan $|BF|^2=(\sqrt 2)^2+(2\sqrt 2)^2=10$.
O halde $\dfrac{|BF|}{|FA|}=\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt 2}=\sqrt 5$.

$72000$ sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi $8$ ile bölünüp $9$ ile bölünemez?

$\textbf{a)}\ 24 \qquad\textbf{b)}\ 32 \qquad\textbf{c)}\ 36 \qquad\textbf{d)}\ 48 \qquad\textbf{e)}\ 84$

Çözüm 1:

Yanıt: $\boxed B$

$72000 = 8 \cdot 9 \cdot 1000 = 2^6\cdot 3^2 \cdot 5^3$

$8$ ile bölünen pozitif bölenlerin sayısı, $72000 = 8\cdot A = 8 \cdot (2^3\cdot 3^2\cdot 5^3)$ denkleminde $A$ sayısının pozitif bölenleri sayısına eşittir. $d(A) = (3+1)(2+1)(3+1)=48$

$8$ ve $9$ ile bölünen pozitif bölenlerin sayısı, $72000 = 72 \cdot B = 72\cdot (2^3\cdot 5^3)$ = denkleminde $B$ sayısının pozitif bölenleri sayısına eşittir. $d(B) = (3+1)(3+1)=16$.

$8$ ile bölünüp $9$ ile bölünmeyen pozitif bölenlerin sayısı $d(A)-d(B) = 48-16 = 32$ olacaktır.

Çözüm 2:

$72000 = 8 \cdot (2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^3) = 8 \cdot 3 \cdot (2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^3) = 24 \cdot X$ denkleminde $X = 2^3\cdot 3 \cdot 5^3$ sayısının pozitif bölenlerinden hiçbiri $9$ ile bölünmez. $X$ sayısının $d(X) = (3+1)(1+1)(3+1) = 32$ pozitif böleni vardır. Bu bölenlerin her birinin $8$ katı $72000$ sayısının $8$ ile bölünüp $9$ ile bölünmeyen pozitif bölenleridir.

Ondalık yazılımında ilki ve sonuncusu dışında her basamağındaki rakamın, sağ ve solundaki iki rakamın toplamına $5$ moduna göre denk olduğu kaç tane $7$ basamaklı sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 90 \qquad\textbf{b)}\ 128 \qquad\textbf{c)}\ 1440 \qquad\textbf{d)}\ 2880 \qquad\textbf{e)}\ 3200$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed D$

Sayımız, $abcdefg$ olsun.
$a$ ve $b$ nin seçildiğini varsayalım.
$c \equiv b-a \pmod 5$ için $2$ ihtimal söz konusu olacaktır.
$d \equiv c-b \pmod 5$ olduğu için her $c$ değeri için $2$ farklı $d$ değeri elde edilecektir.
Bu böyle devam edeceği için $9\times10\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2 = 90\cdot 2^5 = 90\cdot 32 = 3200 - 320=2880$.

Dışbükey bir çokgenin iç açılarından en çok kaç tanesi dar açı olabilir?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 6$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed B$

Bir köşeye ait iç açı dar ise, dış açı geniş olmalı. Bu durumda soru:

"Dışbükey bir çokgenin dış açılarından en çok kaç tanesi geniş açı olabilir?"

haline dönüşür.

Dışbükey çokgenin dış açıları toplamı $360^\circ$ olduğu için, en fazla $3$ dış açı geniş açı olabilir.

Örnek olarak eşkenar üçgen alınabilir.
Açıları sırasıyla $60^\circ, 60^\circ, 160^\circ, 80^\circ$ olan dörtgen de örnek olarak verilebilir.

İlk terimi $1$ olan $20$ terimli bir aritmetik dizinin toplamı, ilk terimi $20$ olan $10$ terimli bir aritmetik dizinin toplamına eşittir. Bu dizilerin ortak farkları sırasıyla $x$ ve $y$ pozitif tam sayıları ise $x+y$ toplamının alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 35 \qquad\textbf{b)}\ 38 \qquad\textbf{c)}\ 43 \qquad\textbf{d)}\ 75 \qquad\textbf{e)}\ 92$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed C$

$1+(1+x)+(1+2x)+\ldots + (1+19x)=20+(20+y)+(20+2y)+\ldots + (20+9y)$

$20+\dfrac{19\cdot 20\cdot x}{2} = 200 +\dfrac{9\cdot 10 \cdot y}{2}$

$2+\dfrac{19\cdot 2\cdot x}{2} = 20 +\dfrac{9 \cdot y}{2}$

$38x = 36 + 9y$

Bu aşamadan sonra farklı şekilde sonuca gidebiliriz.

$1.$

$y = \dfrac{38x-36}{9}$, $x+y=\dfrac{47x-36}{9}=\dfrac{47x}{9}-4$.
$x+y$ pozitif tam sayı olduğu için $x$, $9$ un katı olmalı. $x+y$ nin en küçük değeri için $x$ de en küçük olmalı. Bu durumda $\min (x+y)=47-4=43$ olacaktır.

$2.$

$38x = 9(y+4)\Longrightarrow \dfrac{x}{y+4}=\dfrac{9}{38}$. $x=9k$, $y+4=38k$, $x+y=47k-4\geq 47-4=43$.

$3.$

$38x+9x = 36 + 9y+9x$
$47x = 9(x+y+4)$
$\min(x+y+4)=47$, $\min (x+y)=43$

Bir okulda öğrencilere $1$ den başlayarak sırayla numara verilmiştir. Bu okuldan $150$ kız öğrenci ayrılınca$,$ kalanlar arasında kız öğrencilerin erkek öğrencilere oranı $1 : 2$ haline gelir. Bu sefer de $450$ erkek öğrenci ayrılınca$,$ kalan öğrenciler arasında erkek öğrenci-kız öğrenci oranı $1 : 5$ olur. Okulun başlangıçtaki öğrencileri arasında numarası ne $3$ ne de $5$ ile bölünen kaç öğrenci vardır?

$\textbf{a)}\ 450 \qquad\textbf{b)}\ 480 \qquad\textbf{c)}\ 540 \qquad\textbf{d)}\ 840 \qquad\textbf{e)}\ 900$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed B$

Kız öğrencilerin sayısı $x$, erkek öğrencilerin sayısı $y$ olsun.

Verilen oranları yazalım:

$\dfrac {x-150}{y}=\dfrac 12$,

$\dfrac {y-450}{x-150}=\dfrac 15$

İki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözüp $x$ ve $y$ yi bulabiliriz.
Taraf tarafa çarpınca $x$ lerden kurtulup sadece $y$ ye bağlı denklem elde ederiz.
Buradan da gitmeyip, buna benzer bir yöntemle devam edelim.
$2(x-150)=y$,
$5(y-450)=x-150$,
$2(5(y-450))=y$
$10y-4500=y$
$9y=4500$
$y=500$, $x=400$, $x+y=900$.

$1,2, \ldots, 900$ sayılarının kümesi $E$ olsun.
Bu sayılardan $3$ ile bölünenler $A$ kümesini, $5$ ile bölünenler de $B$ kümesini oluştursun.
$s(E/(A\cup B))$ yı arıyoruz.
$s(E/(A\cup B))= s(E)-(s(A)+s(B)-s(A\cap B))$
$s(E)=900$, $s(A)=\dfrac{900}3=300$, $s(B)=\dfrac {900}5=180$, $s(A\cap B)=\dfrac{900}{15}=60$.

$s(E/(A\cup B))=900-(300+180-60)=480$.

$[AB]$ çaplı $O$ merkezli bir yarım çemberin $[OB]$ yarıçapı üzerinde bir $D$ noktası$,\ BA$ yayı üzerinde bir $C$ noktası seçildiğinde$,\ |DC|=|CB|=26$ ve $|DB|=20$ koşulları sağlanıyorsa$,\ |AB|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 56 \qquad\textbf{b)}\ 64 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{327}{5} \qquad\textbf{d)}\ 66 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{338}{5}$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{E}$

$[AC]$ doğru parçasını çizelim. Çapı gördüğü için $s(\widehat{ACB})=90^{\circ}$'dir. $C$'den $BD$'ye inilen dikme ayağı $E$ olsun. $CDB$ ikizkenar üçgen olduğundan $|DE|=|EB|=10$ olur. $ABC$ üçgeninde öklit uygularsak $|CB|^2=|BE| \cdot |BA| \implies 26^2=10 \cdot |BA| \implies |AB|=\dfrac{676}{10}=\dfrac{338}{5}$ buluruz.

$1997+1998n\ (n=0,1,2,...)$ aritmetik dizisinde ondalık yazılımlarındaki rakamlarının toplamı aynı olan en çok kaç terim vardır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 1997 \qquad\textbf{d)}\ 1998 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed E$

Her $k\geq 4$ tam sayısı için $a_k= 1997 + 1998\cdot 10^k$ sayısının rakamları toplamı $1+9+9+8+1+9+9+7=53$ tür.

$x=0,999999999$ ise $\sqrt[3]{x}$ sayısının ondalık açılımında virgülden sonraki ilk dokuz basamaktan kaç tanesi $9$ olur?

$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 6 \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed E$

$(0,1)$ aralığındaki sayıların küpleri kendilerinden küçüktür. O zaman küp kökleri kendilerinden büyüktür. $$0<x^3<x = 0,999999999<\sqrt[3]{x} < 1$$ O halde $\sqrt[3]{x}$ ün virgülden sonraki ilk dokuz basamağı $9$ dur.

$ABC$ bir üçgen$,\ s(\widehat{B})=90^{\circ},\ A$ açısının iç açıortayına $C$ noktasından indirilen dikmenin ayağı $D,\ AD$ ile $BC$ doğrularının kesişim noktası $E$ olmak üzere$,\ |AE|=12$ ve $|ED|=4$ ise $AEC$ üçgeninin alanı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 64 \qquad\textbf{b)}\ 48 \qquad\textbf{c)}\ 24\sqrt3 \qquad\textbf{d)}\ 24 \qquad\textbf{e)}\ 16\sqrt2$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed B$

$\text{Alan}(AEC) = \dfrac {|AE| \cdot |CD|}{2}$.

$|AE|=12$ bilindiği için $|CD|$ yi bulmamız gerekiyor.

$\angle EAC = \angle EAB = \alpha$ dersek $\angle ECD = 90^\circ - \angle DEC = 90^\circ - \angle AEB = \angle BAE = \angle CAE = \alpha$ olur.

Bu durumda $\triangle DEC \sim \angle DCA \quad (AA)$ olacaktır. $$\dfrac {|DE|}{|DC|} = \dfrac {|DC|}{|DA|} \Rightarrow |DC|^2 = |DE| \cdot |DA| = 4 \cdot 16 = 64 \Rightarrow |DC| = 8$$

$\text{Alan}(AEC) = \dfrac {|AE| \cdot |CD|}{2} = \dfrac {12\cdot 8}{2} = 48$.

$\begin{array}{rcr} x + y +z & = & 19 \\ xy + z & = & 98 & \end{array}$

denklem sistemini sağlayan kaç $(x,y,z)$ sıralı tam sayı üçlüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 20$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed E$

$x + y = 19-z = w$ ve $xy = 98 - z = 19-z + 79 = w + 79$.

$xy = x+y + 79 \Longrightarrow xy - x - y + 1 = 80 \Longrightarrow x(y-1) - (y-1) = (x-1)(y-1)=80 = 2^4\cdot 5$

$80$ sayısının tam bölenlerinin sayısı $d(80) = 2(4+1)(1+1) = 20$ olduğu için $20$ adet $(x,y,x+y)=(x,y,w)$ üçlüsü vardır. Doğal olarak $20$ adet $(x,y,19-w)=(x,y,z)$ üçlüsü olacaktır.

Not: Tübitak'ın sitesinde yer alan kitapçıkta cevap $D$, yani $10$ olarak verilmiş.

$21$ sorudan oluşan bir sınavda her doğru yanıta $4,$ her yanlış yanıta $-1$ ve yanıtsız bırakılan her soruya da $0$ puan verilmektedir. Sınava giren tüm öğrencilerin toplam puanları birbirinden farklı ise sınava en çok kaç öğrenci girmiş olabilir?

$\textbf{a)}\ 79 \qquad\textbf{b)}\ 85 \qquad\textbf{c)}\ 100 \qquad\textbf{d)}\ 103 \qquad\textbf{e)}\ 106$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed C$

Herkesin puanı birbirinden farklı olduğu için soru bizden kaç farklı puan alınabileceğini bulmamızı istiyor.
Alınabilecek puanlar için bir tablo yapmaya başlayalım:
$$\begin{array}{c|c|c|c|c}
D/Y & 0 & 1& 2 & 3 & 4 \\
\hline
21 & 84 \\
20 & 80 & 79 \\
19 & 76 & 75 & 74 \\
18 & 72 & 71 & 70 & 69\\
17 & 68 & 67 & 66 & 65 & 64
\end{array}$$
$18$ doğru için en fazla $72$ puan alınabilir. Sırasıyla $1$, $2$, $3$ yanlış yapıldığında puanlar $71$, $70$, $69$ olur.
$17$ doğru için en fazla $68$ puan alınabilir. Yanlış sayısı $\geq 4$ olduğu için $17$ doğru, $0$ yanlış ile $16$ doğru $0$ yanlış arasındaki her puan alınabilir.
Bu böyle devam eder.
$0$ doğru; $1$, $2$, $\dots$, $21$ yanlış için $-1$, $-2$, $\dots$, $-21$ puanlarının hepsi alınabilir.
Bu durumda $-21$ ile $84$ aralığındaki $84+21+1=106$ sayıdan alınamayacak olanları $(83,82,81,78,77,73)$ çıkarırsak $106-6=100$ farklı puanın alınabileceğini buluruz.

$[AB]$ çaplı $O$ merkezli bir çemberin $[OB]$ yarıçapının orta noktası $C,\ C$ noktasından geçen bir kiriş $[DE],\ s(\widehat{BCD})=45^{\circ}$ ve bu çemberin alanı $8\pi$ ise $|DE|$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 4\sqrt2 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt7 \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{30}$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{D}$

Çemberin yarıçapı $r$ olsun. $\pi r^2=8 \pi \implies r^2=8 \implies r=2\sqrt2$ bulunur. $C$, $[OB]$ yarıçapının orta noktası olduğundan $|OC|=|CB|=\sqrt2$'dir. $O$'dan $DE$'ye inilen dikme ayağı $F$ olsun. $OFC$ ikizkenar dik üçgendir ve $|OF|=|FC|=1$ olur. $OD$ yarıçapını çizelim ve $ODF$ dik üçgeninde pisagor teoremini uygularsak
$$|OD|^2=|OF|^2+|FD|^2 \implies (2\sqrt2)^2 = 1^2 + |FD|^2 \implies |FD|=\sqrt7$$
ve buradan da $|DE|=2 \cdot |DF| =2\sqrt7$ elde ederiz.

$2$ ve $9$ ile bölünebilen bir sayının tam olarak $15$ pozitif böleni varsa bu sayı $5$ e bölündüğünde kalan ne olur?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 4$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed E$

$n = p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dots p_k^{a_k}$ sayısının pozitif bölenlerinin sayısı $(a_1+1)(a_2 + 1) \cdots (a_k+1)$ dir.
$15$ sayısı $1$ den büyük $2$ ya da daha fazla sayının çarpımı şeklinde tek bir biçimde yazılabilir: $15 = 3 \times 5$.
Aradığımız sayının en az iki farklı asal böleni ($2$ ve $3$) olduğu için $n=2^x3^y$ ve $(x+1)(y+1) = 15$ olmalı.
$n$ için iki durum söz konusu: $n=2^23^4$ ve $n=2^43^2$
İki sayı da $5$ ile bölündüğünde $4$ kalanını verir.

Ahmet ile Betül$,$ içlerinden birinin seçtiği bir $n$ tam sayısı için$,\ an^4+bn^3+cn^2+dn$ ifadesindeki $a,b,c,d$ katsayılarını sırayla seçtikleri bir oyun oynarlar. Sırası gelen$,$ daha önce seçilmemiş katsayılardan birini seçerek yerine $1$ ya da $-1$ koyar. Oyunu$,$ bütün katsayılar seçildikten sonra elde edilen sayı $6$ ile bölünüyorsa Betül$;$ aksi durumda ise Ahmet kazanır. Aşağıdakilerden hangisi doğru değildir?

$\textbf{a)}$ $n$ yi Ahmet seçer ve katsayı seçmeye de Ahmet başlarsa Betül oyunu kazanmayı garanti edebilir.
$\textbf{b)}$ $n$ yi Ahmet seçer$,$ katsayı seçmeye ise Betül başlarsa Ahmet oyunu kazanmayı garanti edebilir.
$\textbf{c)}$ $n$ yi Betül seçer ve katsayı seçmeye de Betül başlarsa Betül oyunu kazanmayı garanti edebilir.
$\textbf{d)}$ $n$ yi Betül seçer$,$ katsayı seçmeye ise Ahmet başlarsa Betül oyunu kazanmayı garanti edebilir.
$\textbf{e)}$ Hiçbiri

Çözüm:

Yanıt: $\boxed E$

Betül $n=0$ seçerse ifade her zaman $0$ olacak. Bu durumda ifade her zaman $6$ ile bölünecek. O halde $(C)$ veya $(D)$ şıkları doğrudur.

$(B)$ şıkkına bakalım:
Ahmet $n=1$ seçerse son hamlede Ahmet, sıra kendisinde olduğu için, ifadeyi $1$ azaltır ya da $1$ artırır. Son hamlede elde edilebilecek iki sayıdan sadece biri $6$ ile bölünür. Ahmet son katsayıyı, ifade $6$ ile bölünmeyecek şekilde seçebilir.

$(A)$ şıkkına bakalım:
$n$ tek olursa $4$ tek sayının toplamı çift; $n$ çift olursa yine $4$ çift sayının toplamı çift olacaktır. O halde ifadeyi $\bmod 3$ te incelemek yeterli olacaktır.
$n^3\equiv n \pmod 3$ olduğu için $n^4\equiv n^2\pmod 3$ tür.
Ahmet $n$ yi ne seçerse seçsin, $(a,c)$ ikilisi (1,-1) ya da (-1,1) olarak seçilirse; benzer şekilde $(b,d)$ ikilisi (1,-1) ya da (-1,1) olarak seçilirse oluşan ifade $3$ ile bölünecektir. Bu durumda Betül kazanacaktır. Biraz daha açarsak; Ahmet $a$ yı seçerse Betül $c$ yi $-a$ olarak, Ahmet $d$ yi seçerse Betül $b$ yi $-d$ olarak seçerse ifadenin $\bmod 3$ te her zaman $\equiv 0$ olmasını sağlayabilir.

Şıkların hepsi doğru olduğu için yanıt, şıklardan hiçbiri, yani $(E)$ dir.