Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 2016

Bir $BCF$ üçgeninin $B$ açısı diktir. $CF$ doğrusu üzerinde bir $A$ noktası $|FA| = |FB|$ olacak ve $F$ noktası $A$ ile $C$ arasında kalacak şekilde seçiliyor. $D$ noktası, $|DA| = |DC|$ olacak ve $\angle {DAB}$ nin açıortayı $AC$ olacak şekilde seçiliyor. $E$ noktası, $|EA| = |ED|$ olacak ve $\angle {EAC}$ nin açıortayı $AD$ olacak şekilde seçiliyor. $[CF]$ nin orta noktası $M$ olsun. $X$ noktası, $AMXE$ bir paralelkenar $( AM $ $\| $ $ EX$ ve $AE $ $ \| $ $ MX )$ olacak şekilde seçiliyor. $BD,$ $FX,$ ve $ME$ doğrularının noktadaş olduğunu gösteriniz.

$n$ bir pozitif tamsayı olmak üzere $n×n$ lik bir satranç tahtasının her birim karesine $I$,$M$ ve $O$ harflerinden biri yazılıyor;
$\Longrightarrow$ Her satırda ve her sütunda harflerin üçte biri $I$ üçte biri $M$ ve üçte biri $O$ dur.
$\Longrightarrow$ Üzerindeki birim kare sayısı 3 ün katı olan her köşegende harflerin üçte biri $I$ üçte biri $M$ ve üçte biri $O$ dur.
Şartlarına uygun olarak yazılabiliyorsa $n$ nin alabileceği tüm değerleri bulunuz.

$P=A_{1}A_{2}\dots A_{k}$ kordinat düzleminde bir dışbükey çokgen olsun. $A_{1},$ $A_{2},$ $\dots ,$ $A_{k}$ köşeleri tamsayı kordinatlıdır ve hepsi bir çember üzerindedir. $P$ nin alanı $S$ olsun. $P$ nin kenar uzunluklarının her birinin karesini tam bölen bir $n$ pozitif tamsayısı veriliyor. $2S$ nin $n$ ile tam bölünen bir sayı olduğunu gösteriniz.

Pozitif tamsayılardan oluşan en az 2 elemanlı bir alt kümede.Her eleman en az 1 diğer elemanla ortak bir asal.bölene sahipse bu kümeye $mis gibi$ diyelim $P(n)$=n²$+n+1$ olsun
{P(a+1),P(a+2),...,P(a+b)}
kümesi mis gibi olacak şekilde bir a negatif olmayan tam sayısı bulunuyorsa b nin alabileceği en küçük değer nedir?

Tahtaya $$(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)$$ denklemi yazılmıştır (denklemin her iki tarafında $2016$ şar lineeer çarpan bulunuyor).Bu $4032$ lineer çarpandan tam olarak $k$ tanesi, her iki tarafta en az birer çarpan kalacak ve geriye kalan denklemin hiç reel çözümü olmayacak şekilde, silinebiliyorsa $k$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

Düzlemde verilen $n\ge 2$ adet doğru parçasının herhangi ikisi iç noktalarda kesişiyor, ve herhangi üçü noktadaş değildir. Aslı her doğru parçasının bir ucunu seçip oraya bir kurbağayı, yüzü diğer uca dönük olarak, yerleştirecektir. Daha sonra $n-1$ defa el çırpacaktır. Elini her çırptığında, kurbağaların her biri hemen ileri atlayıp kendi doğru parçası üzerindeki bir sonraki kesişim noktasına konacaktır. Bu kurbağalar atlama yönlerini hiç bir zaman değiştirmezler. Aslı bu kurbağaları, herhangi iki kurbağa asla aynı anda aynı kesişim noktasında buluşmayacak şekilde yerleştirmek istiyor.

Doğru parçaları, şartlara uygun olarak nasıl verilmiş olursa olsun,

$(a)$ $n$ tekse, Aslı'nın amacına ulaşabileceğini gösteriniz.

$(b)$ $n$ çiftse, Aslı'nın amacına ulaşamayacağını gösteriniz.