Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı - 2016
1
$n$ bir pozitif tam tek sayı ve $x_1,x_2,\cdots,x_n$ negatif olmayan gerçel sayılar olmak üzere $i=1,\cdots ,n$ ve $j=1,\cdots ,n$ için$$\min_{i=1,\cdots,n}({x_i}^2+{x_{i+1}}^2)\le \max_{j=1,\cdots,n}(2x_jx_{j+1})$$olduğunu gösteriniz. Burada $x_{n+1}=x_1$.
2
Bir $ABCD$ kirişler dörtgeninin $AC$ ve $BD$ köşegenleri $X$ noktasında kesişiyor. $CX$, $DX$ ve $CD$ doğru parçalarının orta noktaları sırasıyla $C_1$, $D_1$ ve $M$ olsun. $AD_1$ ve $BC_1$ doğruları $Y$ noktasında kesişiyor. $MY$ doğrusu $AC$ ve $BD$ köşegenlerini sırasıyla birbirinden farklı $E$ ve $F$ noktalarında kesiyor. $XY$ doğrusunun $E$, $F$ ve $X$ noktalarından geçen çembere teğet olduğunu gösteriniz.
3
$m$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $4m$ $\times$ $4m$ satranç tahtasının aynı satır veya aynı sütununda yerleşen birbirlerinden farklı herhangi iki birim karesi birbirleriyle arkadaş tır. Her birim kare kendisi ile arkadaş değildir. Bazı birim kareler mavi renge, her birim karenin en az iki arkadaş birim karesi mavi olacak şekilde boyanıyor. Mavi renge boyalı birim kare sayısının en az kaç olabileceğini belirleyiniz.
4
Eşit yarıçaplı $ω_1$ ve $ω_2$ çemberleri birbirlerinden farklı $X_1$ ve $X_2$ noktalarında kesişiyor. $ω$ çemberi $T_1$ noktasında $ω_1$ çemberine dıştan, $T_2$ noktasında ise $ω_2$ çemberine içten teğettir. $X_1T_1$ ve $X_2T_2$ doğrularının $ω$ çemberi üzerinde kesiştiklerini gösteriniz.
5
$k$ ve $ n$ tam sayıları $k ≥ 2$ ve $k ≤ n ≤ 2k−1$ koşullarını sağlıyorlar. Her işlemde $1×k$ veya $k×1$boyutlarında dikdörtgen şeklindeki bir taş parçası $n×n$ satranç tahtasının üzerine, her taş parçası tam olarak $k$ birim kareyi kapatacak ve herhangi iki taş parçası aynı birim kareyi kapatmayacak şekilde yerleştiriliyor. Birkaç işlem sonucunda satranç tahtasına yukarıdaki koşullarla yeni bir taş parçası yerleştirilemeyecek durumuna geliniyor. Yukarıdaki eşitsizlikleri sağlayan her $k$ ve $n$ ikilisi için bu son durumda satranç tahtası üzerinde en az kaç taş parçası olabilir?
6
$S$ kümesi; $n^2 + 1, n^2 + 2, . . ., n^2 + 2n$ sayılarından en az biri $n^4$ sayısını bölüyor koşulunu sağlayan tüm $n$ pozitif tam sayılarından oluşuyor. $m$ tam sayı olmak üzere, $S$ kümesinin $7m, 7m + 1,7m + 2, 7m + 5, 7m + 6$ şekillerinin her birinde sonsuz sayıda elemanının olduğunu gösteriniz. $S$ kümesinin $7m + 3$ ve $7m + 4$ şekillerinin hiçbirinde elemanının olmadığını gösteriniz.