Tübitak Lise Takım Seçme - 2016 Çözümleri

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinden geçen yükseklik üzerinde bir $P$ noktası alınıyor. $BP$ ve $CP$ doğruları $AC$ ve $AB$ kenarlarını sırasıyla $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $D$ be $E$ noktalarından $BPC$ üçgeninin çevrel çemberine çizilen teğetler $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde kalacak şekilde sırasıyla $K$ ve $L$ noktalarında çembere teğettir. $KD$ doğrusu $AKC$ üçgeninin çevrel çemberini ikinci kez $M$ noktasında, $LE$ doğrusu $ALB$ üçgeninin çevrel çemberini ikinci kez $N$ noktasında kesiyor. Buna göre $$\dfrac{KD}{MD}=\dfrac{LE}{NE} \iff \text{P noktası ABC üçgeninin diklik merkezidir}$$olduğunu kanıtlayınız.

(Fehmi Emre Kadan)

$23$ öğrenciden oluşam bir sınıfta her öğrenci ikilisi birlikte bir film izledi. Her öğrencinin izlediği tüm filmlerin kümesi onun film koleksiyonu olsun. Her öğrenci her filmi en fazla bir kez izlediyse, sınıftaki öğrencilerin en az kaç farklı film koleksiyonu olabilir?

(Azer Kerimov)

$a^2+b^2+c^2\le3$ koşulunu sağlayan tüm $a,b,c$ negatif olmayan gerçel sayıları için $$(a+b+c)(a+b+c-abc)\ge2(a^2b+b^2c+c^2a)$$ olduğunu kanıtlayınız.

(Fehmi Emre Kadan)

Çözüm 1:

$a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}\leq 3$ ve $a+b+c \geq \dfrac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{3}\geq 3abc$ olduğundan;
$$ abc(a+b+c)=\dfrac{2abc(a+b+c)}{3}+\dfrac{abc(a+b+c)}{3} \leq 2abc+\dfrac{(a+b+c)^2}{9}$$
elde edilir. O halde;
$$ (a+b+c)^2-2abc-\dfrac{(a+b+c)^2}{9} \geq 2(a^2b+b^2c+c^2a)$$
olduğunu yani;
$$ \dfrac{4(a+b+c)^2}{9} \geq a^2b+b^2c+c^2a+abc$$
olduğunu göstermemiz gerekir. $ \dfrac{4(a+b+c)^2}{9} \geq \dfrac{4(a+b+c)^3}{27}$ olduğundan son olarak gösterilmesi gereken;
$$ \dfrac{4(a+b+c)^3}{27} \geq a^2b+b^2c+c^2a+abc$$
olduğudur. Genelliği bozmaksızın $a=\min \{a,b,c \}$ olsun. $b=x+a, c=y+a$ ve $x,y \ge 0$ olsun. Yerine yazarsak;
$$9a(x^2-xy+y^2)+(2x-y)^2(4x+y) \ge 0$$
olduğundan doğrudur. İspat biter. Eşitlik $(1,1,1)$ ve $(0,0,0)$ için sağlanır.

Çözüm 2:

İkinci ve daha estetik bir çözüm verelim.

Öncelikle $a^2b+b^2c+c^2a=S$ olsun. $3 \ge a^2+b^2+c^2 \ge 2ab+c^2 \ge 2ab+2c-1 \Rightarrow ab+c \le 2 \Rightarrow ab^2c+ac^2 \le 2ac$ biliyoruz. Taraf tarafa toplanırsa $abc(a+b+c)+S \le 2(ab+bc+ca)$ elde edilir. O halde göstermemiz gereken son şey $S \le a^2+b^2+c^2$ olduğudur. $1 \ge abc$ biliyoruz. $S=a^2b+b^2c+c^2a \le a^{\frac{7}{3}} b^{\frac{1}{3}} c^{\frac{1}{3}} +b^{\frac{7}{3}} c^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{3}}+c^{\frac{7}{3}} a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} \le a^2+b^2+c^2$ olduğunu Muirhead'den biliyoruz. İspat biter.

Bir $a_0,a_1,\cdots$ gerçel sayı dizisi yeterince büyük tüm $m$ pozitif tamsayıları için $$\sum\limits_{n=0}^{m}a_n\cdot(-1)^n\cdot\dbinom{m}{n}=0$$ şartını sağlıyorsa, tüm $n\ge0$ için $a_n=P(n)$ koşulunu sağlayan bir $P$ polinomunun bulunduğunu gösteriniz.

(Melih Üçer)

Çözüm:

Bu soru direkt bu haliye IMO 2007 Shortlist sayfa 23, A7 sorusunda çözümde bir lemma olarak kullanılıp ispatlanmıştır.

https://www.imo-official.org/problems/IMO2007SL.pdf

Her $m,n\in\mathbb N$ için $f(mn)=f(m)f(n)$ ve $m+n\mid f(m)+f(n)$ koşullarını sağlayan tüm $f: \mathbb N\rightarrow \mathbb N$ fonksiyonlarını bulunuz.

(Melih Üçer)

$AB=AC$ koşulunu sağlayan bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ nin orta noktası $D$ olsun. $D$ den geçen bir doğru $AB$ yi $K$ de, $AC$ yi $L$ de kesiyor. $[BC]$ kenarı üzerinde $D$ den farklı bir $E$ noktası ve $AE$ nin $E$ tarafındaki uzantısı üzerinde $\angle KPL=90^\circ-\frac{1}{2}\angle KAL$ olacak şekilde bir $P$ noktası alınıyor. $PDE$ nin çevrel çemberinin $PK$ yi ikinci defa kestiği nokta $X$, $PL$ yi ikinci defa kestiği nokta $Y$ olmak üzere $DX$ ve $AB$ doğruları $M$ de, $DY$ ve $AC$ doğruları ise $N$ de kesişiyor. $P,M,A,N$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.

(Melih Üçer)

$A_1,A_2,\dots A_k$ $\{1,2,\dots, 2016\}$ kümesinin farklı alt kümeleri olmak üzere her $1\le i<j\le k$ için $A_i\cap A_j$ bir aritmetik dizi oluşturuyorsa, $k$ nın alabileceği en büyük değer nedir?

(Azer Kerimov)

$n\ge5$ olmak üzere $A_1A_2\cdots A_n$ dışbükey $n$-geninin tüm iç açıları geniş açıdır. Her $1\le i\le n$ için $O_i$, $A_{i-1}A_iA_{i+1}$ üçgeninin ($A_0=A_n$ ve $A_{n+1}=A_1$ kabul ediliyor) çevrel çember merkezi olarak tanımlanıyor. $O_1O_2\cdots O_n$ kapalı yolunun bir dışbükey $n$-gen belirtmediğini kanıtlayınız.

(Melih Üçer)

$p$ bir asal sayısı olmak üzere, katsayıları $\{0,1,\cdots p-1\}$ kümesine ait olan ve derecesi $p$ den küçük olan polinomların kümesini $K_p$ ile gösterelim. Tüm $n$ tamsayıları için $P(Q(n))=n\pmod p$ koşulunu sağlayan $K_p$ ye ait her $P,Q$ polinom ikilisinin derecesinin eşit olduğu bütün $p$ asal sayılarını belirleyiniz.

(Okan Tekman)