Tübitak Genç Takım Seçme - 2016

$$x^2+y=xy^2$$$$2x^2y+y^2=x+y+3xy$$denklem sistemini sağlayan tüm $(x,y)$ gerçel sayı ikililerini bulunuz.

Aslı ve Berk sırayla tabanı $2016$ gen olan piramitin daha önce boyanmamış bir kenarını $k$ renkten birine, ortak köşesi bulunan herhangi iki kenar aynı renkte olmayacak koşuluyla boyuyorlar. Boyamaya Aslı başlıyorsa, Berk $k$ nın en küçük hangi değerinde tüm kenarların boyanmasını garantileyebilir?

$n$ bir pozitif tamsayı, $p$ ve $q$ asal sayılar olmak üzere


ise  $q \mid 4^m\cdot n+2$ olacak biçimde bir $m$ pozitif tamsayısının bulunduğunu kanıtlayınız.

$AB\parallel CD$ ve $|AB|<|CD|$ olan bir $ABCD$ yamuğunda $AC$ ile $BD$ doğruları $E$ de kesişiyor. $EBC$ üçgeninin çevrel çemberinin $E$ noktasını içermeyen $BC$ yayının orta noktası $F$ olmak üzere $EF$ ile $BC$ doğruları $G$ de kesişiyor. $BFD$ üçgeninin çevrel çemberi $DA$ ışınını $A \in [HD]$ olacak biçimde bir $H$ noktasında kesiyor. $AHB$ üçgeninin çevrel çemberi $AC$ ve $BD$ doğrularını sırasıyla $M$ ve $N$ noktalarında kesiyor. $BM$ ile $GH$ doğruarı $P$ de, $GN$ ile $AC$ doğruları $Q$ da kesişiyorsa $P,Q,D$ noktalarının doğrudaş olduğunu kanıtlayınız.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $A$ ve $C$ köşelerinden geçen yüksekliklerin ayakları sırasıyla $D$ ve $E$ dir. $E$ den geçen ve $BC$ ye paralel olann doğru $AC$ doğrusunu $F$ de, $D$ den geçen ve $AB$ ye paralel olan doğru $AC$ doğrusunu $G$ de kesiyor. $F$ den $DG$ ve $GE$ doğrularına inilen dikmelerin ayakları sırasıyla $K$ ve $L$ olmak üzere $KL$ doğrusu $ED$ doğrusunu $M$ de kesiyor. Buna göre $FM \perp ED$ olduğunu gösteriniz.

$xyz \ge 1$ koşulunu sağlayan tüm $x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için$$(x^4+y)(y^4+z)(z^4+x) \ge (x+y^2)(y+z^2)(z+x^2)$$olduğunu gösteriniz.

$$p^3+7q=q^9+5p^2+18p$$denklemini sağlayan tüm $(p,q)$ asal sayı ikililerini bulunuz.

$2016$ kentten oluşan bir ülkede $k$ kent ikilisi arasında karşılıklı uçak seferleri her kentten her kente ulaşılacak şekilde nasıl düzenlenirse düzenlensin; herhangi ikisi arasında direkt uçuş bulunmayan birkaç kent seçilip bu kentlerin tüm uçuşlarını kaldırarak birinden diğerine ulaşılamayan iki seçilmemiş kentin bulunması sağlanabiliyorsa, $k$ nın alabileceği en büyük değer nedir?