Tüm  $ x, y, z $ pozitif gerçel sayıları için,
$$x^4y+y^4z+z^4x+xyz (x^3+y^3+z^3) \ge (x+y+z)(3xyz-1)$$
olduğunu gösteriniz.

Çalışistan ülkesindeki $k$ turistin herbiri önce temizlik, sıcaklık, yeşillik ve ucuzluk kriterlerinden birini seçiyor ve bu kritere göre Tatilistan ülkesindeki $2016$ kentten kendi yaşadığı kentten daha iyi olanları ziyaret ediyor. Tatilistandaki herhangi $2$ kent birbirinden farklı turist grupları tarafından ziyaret edilmişse $k$ nın alabileceği en küçük değeri belirleyiniz.

$ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde değişken bir $X$ noktası alınıyor. $B' \in [XB$ ve $C'\in [XC$ noktaları $|BC|=|B'X|=|C'X|$ olacak şekilde alınıyor. $X$ den geçen $AB$ ye paralel olan doğru $AC$ yi $Y$ noktasında ve $X$ den geçen $AC$ ye paralel olan doğru $AB$ yi $Z$ noktasında kesiyor. $X$ noktası $[BC]$ üzerinde nasıl seçilirse seçilsin $YZ$ doğrularının sabit bir noktadan geçtiğini kanıtlayınız.

Bir dışbükey beşgende bir köşeden karşı kenara indirilen dikmeye o köşeye ait yükseklik diyelim. Beş yükseklikten dördü bir noktadan geçiyorsa beşincisinin de bu noktadan geçtiğini gösteriniz.

Her bir terimi $0$ veya $1$ e eşit olan $a_1, a_2, \cdots$ dizisi her $k>2016$ için $$a_k=0 \Leftrightarrow a_{k-1}+a_{k-2}+\cdots+a_{k-2016}>23$$ koşulunu sağlıyor. Yeterince büyük tüm $k$ tamsayıları için $a_k=a_{k+T}$ koşulunu sağlayan bir $T$ pozitif tamsayısının bulunduğunu gösteriniz.

Her kare-bölensiz $n>1$ sayısı için $$p\mid n\space\space\space\space\text{ve}\space\space\space\space n\mid p^2+p\cdot m^p$$ olmasını sağlayan bir $p$ asal sayısı ve bir $m$ tam sayısı bulunduğunu gösteriniz.