Geomania.Org Forumları

$a, b$ ve $c$ pozitif gerçel sayılar olsun. $$a^3b^6 + b^3c^6 + c^3a^6 + 3a^3b^3c^3 \ge abc(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3) + a^2b^2c^2(a^3+b^3+c^3)$$ eşitsizliğini ispatlayınız.

$ABC$ çeşitkenar üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ ve çevrel çemberi $(\omega)$ olsun. $AI, BI, CI$ doğrularının $(\omega)$ ile ikinci kesişme noktaları sırası ile $D, E, F$ noktalarıdır. $I$ noktalasından $BC, AC, AB$ kenarlarına çizilen paralel doğrular $EF, DF, DE$ doğrularını sırası ile $K, L, M$ noktalarında kesmektedirler. $K, L, M$ noktalarının doğrusal olduklarını gösteriniz.

$3366$ film eleştirmeninden oluşan bir jüri Oscar ödülü kazananı belirlemek için oy veriyorlar. Her eleştirmen en iyi olduğunu düşündüğü bir erkek oyuncuya bir oy ve bir kadın oyuncuya bir oy veriyor. Oylama sonucunda her $n \in \{1, 2, \dots, 100\}$ tam sayısı için tam olarak $n$ oy almış bir erkek veya bir kadın oyuncu olduğu görülür. Aynı erkek ve aynı kadın oyuncu ikilisine oy veren iki eleştirmenin var olduğunu gösteriniz.

Her hangi $20$ ardışık pozitif tam sayı arasında bulunan öyle bir $d$ tam sayısının olduğunu gösteriniz k, her $n$ pozitif tam sayısı için $$n\sqrt d \{n\sqrt d\} > \dfrac{5}{2}$$eşitsizliği doğru olsun. Burada $\{x\}$ ile $x$ gerçel sayısının kesirli kısmı gösterilmiştir. Bir $x$ gerçel sayısının kesirli kısmı, $x$ ile $x$ den küçük veya eşit en büyük tam sayının farkına eşittir.