Tübitak Lise 2. Aşama - 2015

$m$ ve $n$ pozitif tamsayılar olmak üzere, $$k=\dfrac{(m+n)^2}{4m(m-n)^2+4}$$ sayısı bir tam sayı ise, $k$ nın bir tamkare olduğunu gösteriniz.

$x$, $y$ ve $z$ herhangi ikisinin toplamı $1$ den farklı gerçel sayılar olmak üzere, $$\dfrac{(x^2+y)(x+y^2)}{(x+y-1)^2}+\dfrac{(y^2+z)(y+z^2)}{(y+z-1)^2} + \dfrac{(z^2+x)(z+x^2)}{(z+x-1)^2} \ge 2(x+y+z) - \dfrac{3}{4}$$ olduğunu gösteriniz. Eşitlik durumunu sağlayan tüm $(x,y,z)$ gerçel sayı üçlülerini bulunuz.

$n\ge4$ olmak üzere düzlemde $n$ nokta veriliyor. Tüm nokta ikilileri doğru parçalarıyla birleştirildikten sonra hiçbir doğru parçasıyla uç noktaları dışında kesişmeyen doğru parçalarının sayısı en çok kaç olabilir?

$2015$ tablonun gösterildiği bir sergide her katılımcı bir tablo ikilisi seçip tahtaya yazıyor. Sonra Sahte Sanatçı (S.S.) tahtada yazılı ikililerden bazılarını seçip, bu ikililerin her birinde tablolardan herhangi birini daha güzel olarak işaretliyor. Daha sonra sanatçının yardımcısı (S.Y.) her adımında tahtadaki henüz kıyaslanmamış bir $(A,C)$ tablo ikilisini, bir $B$ tablosu için tahtada $A$, $B$ den daha güzel ve $B$, $C$ den daha güzel olarak belirtilmişse, $A$, $C$ den daha güzel olarak işaretliyor. S.S., tahtaya hangi ikililer yazılmış olursa olsun en fazla $k$ ikiliyi kıyaslayarak S.Y. nin sonlu adım sonucunda tahtadaki tüm ikilileri kıyaslanmasını sağlayabiliyorsa, $k$ nın alabileceği en küçük değer nedir?

Not: S.Y, henüz kıyaslanmamış bir $(A_1, A_n)$ tablo ikilisini, $A_2, A_3\cdots , A_{n-1}$ tabloları için $A_1$, $A_2$ den daha güzel; $A_2$, $A_3$ ten daha güzel; ... ; $A_{n-1}$, $A_n$ den daha güzel olarak belirtilmişse, $A_1$, $A_n$ den daha güzel olarak işaretleyebiliyor.

En büyük iç açısı $D$ olan bir $ABCD$ kirişler dörtgeninde $BC$ ve $AD$ doğruları $E$, $AB$ ve $CD$ doğruları ise $F$ noktasında kesişiyorlar. $ABCD$ dörtgeninin iç bölgesinde $\angle EPD=\angle FPD=\angle BAD$ olacak şekilde bir $P$ noktası alınıyor. $ABCD$ nin çevrel çemberinin merkezi $O$ olmak üzere, $FO$ doğrusu $AD$, $EP$, $BC$ doğrularını sırasıyla $X$, $Q$, $Y$ noktalarında kesiyor. $\angle DQX = \angle CQY$ ise $\angle AEB=90^\circ$ olduğunu gösteriniz.

$n$ ile aralarında asal olan her $a$ pozitif tam sayısı için $2n^2 \mid a^n - 1$ olmasını sağlayan tüm $n$ pozitif tam sayılarını bulunuz.