Tübitak Ortaokul 1. Aşama - 2015 Çözümleri

Bir grup çocuk, içinde kırmızı ve beyaz şekerler bulunan bir torbadaki kırmızı şekerlerin $\dfrac{4}{11}$ ini ve beyaz şekerlerin $\dfrac{11}{17}$ sini yedikten sonra torbada her iki renkten eşit sayıda şeker kaldıysa, yenilen beyaz şekerlerin sayısı ile yenilen kırmızı şekerlerin sayısı arasındaki fark en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 47
\qquad\textbf{b)}\ 53
\qquad\textbf{c)}\ 61
\qquad\textbf{d)}\ 75
\qquad\textbf{e)}\ 82
$

Bir pozitif tam sayıdan rakamları toplamı çıkarıldığında, bu sayının rakamları çarpımı elde ediliyorsa bu sayıya iyi sayı diyelim. Kaç iyi sayı vardır ?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 9
\qquad\textbf{d)}\ 13
\qquad\textbf{e)}\ 20
$

Bir kutuda başlangıçta $10$ kırmızı, $15$ mavi, $20$ yeşil ve $25$ siyah top bulunuyor. Her hamlede $3$ farklı renkli top seçilip kutudan çıkarılıyorsa, yapılabilecek hamle sayısı en fazla kaç olabilir ?

$
\textbf{a)}\ 19
\qquad\textbf{b)}\ 20
\qquad\textbf{c)}\ 21
\qquad\textbf{d)}\ 22
\qquad\textbf{e)}\ 23
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{D}$

$22$ hamleye örnek olarak ilk $8$ hamlede $KYS$, sonraki $2$ hamlede $KMS$, sonraki $12$ hamlede $MYS$ çıkarabiliriz.

$23$ hamle yapamayacağımızı gösterelim. Bir renkten $23$ hamlede en fazla $23$ top çıkarılabilir, dolayısıyla en fazla $10$ kırmızı, $15$ mavi, $20$ yeşil ve $23$ siyah top çıkarabiliriz ($68$ top ediyor). Fakat toplamda $23\cdot 3=69$ top çıkarmamız gereklidir, dolayısıyla en fazla $22$ hamle yapabiliriz.

Bir dışbükey çokgenin iç açılarının derece ile ölçülmüş değerleri birbirinden farklı tam sayılardır. Bu çokgenin $3$ tane iç açısı sırasıyla $55, 65$ ve $75$ derece olduğuna göre bu çokgenin en fazla kaç tane kenarı olabilir ?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ 9
$

$A$ ve $B$ birer rakam olmak üzere, on tabanına göre yazılımı $2015AB$ olan sayı $71$ ile tam bölünüyorsa, $A+B$ kaçtır ?

$
\textbf{a)}\ 9
\qquad\textbf{b)}\ 11
\qquad\textbf{c)}\ 13
\qquad\textbf{d)}\ 15
\qquad\textbf{e)}\ 17
$

İki kavanozdan birinde $2$, diğerinde $5$ litre şekerli su bulunuyor. Her iki kavanozdan aynı anda $t$' şer litre şekerli su alınıp yer değiştiriliyor. Bu işlem sonucunda kavanozlardaki, başlangıçta farklı olan şeker oranları eşitlendiyse, $t$ kaçtır ?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{10}{7}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{9}{5}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3}{10}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{3}{7}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{13}{10}
$

$1,2, \cdots , 20$ sayıları ile numaralandırılmış $20$ top başlangıçta rastgele dizilmiştir. Her işlemde aralarında en az $\ell$ adet top bulunan iki topun yerlerini değiştirerek bir kaç işlem sonucunda topları numaralarına göre artan sırada dizebiliyorsak, $\ell$ nin alabileceği en büyük değer nedir ?

$
\textbf{a)}\ 7
\qquad\textbf{b)}\ 8
\qquad\textbf{c)}\ 9
\qquad\textbf{d)}\ 10
\qquad\textbf{e)}\ 11
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{C}$

Eğer $\ell \geq 10$ olursa $10.$ sıradaki ve $11.$ sıradaki sayılar yerlerinden kımıldatılamaz. Dolayısıyla bu sayıların yerinde farklı sayıların olduğu bir senaryoda toplar artan sırada dizilemez. $\ell \leq 9$ olmalı. Şimdi de $\ell_{\max} = 9$ olduğunu ispatlayalım.

Öncelikle $1.$ sıraya ve $20.$ sıraya dikkat edelim. Bu sıralara "park yeri" ismi verelim. $1-10$ aralığındaki yerlere sıralanmış ardışık iki topun yerini, $20.$ sıradaki park yerini kullanarak değiştirebiliyoruz. Şöyle: $1-10$ aralığındaki ardışık konumda bulunan iki topun numaraları $a$ ve $b$ olsun. $20$. sıradaki park yerinde de $c$ numaralı top olduğunu düşünelim. Yani $--ab----c$ dizilimi olsun.

1. hamlede $a$ ile $c$ nin yeri değişir. $--cb----a$ olur.
2. hamlede $a$ ile $b$ nin yeri değişir. $--ca----b$ olur.
3. hamlede $c$ ile $b$ nin yeri değişir. $--ba----c$ olur.

3 hamlenin sonunda yalnızca $a$ ve $b$ numaralı topların konumlarını değiştirdik. Diğer topların yeri değişmedi. Benzer şekilde, $11-20$ aralığındaki yerlere sıralanmış ardışık iki topun yerini, $1.$ sıradaki park yerini kullanarak değiştirebiliriz. Özel olarak $10.$ ve $11.$ sıradaki topların yerleri de $5$ hamlede değiştirilebiliyor. Her iki uçtaki park yerini de kullanarak bunu örneklemek kolaydır. Böylece, ardışık olarak verilen herhangi iki topun yerini değiştirebildiğimizi anlıyoruz.

Bir dizide yan yana yanlış sıralanmış iki elemanı doğru sıraya getirme işlemimiz (komşuların değişimi) varsa, bu işlemi tekrar edersek en sonunda tüm dizi küçükten büyüğe sıralayabiliriz. Bu bize, topların sıralaması nasıl verilirse verilsin $\ell = 9$ iken artan sıralama yapmanın mümkün olduğunu gösterir.

Köşeleri, alanı $4$ olan bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninin kenarları üzerinde ve kenarları da $AC$ ve $BD$ köşegenlerine paralel olan bir paralelkenarın alanı en çok kaç olabilir ?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{2}
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt{2}
\qquad\textbf{e)}\ 3
$

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $2014n^2+2018n+2015$ sayısının birler basamağındaki rakamın alabileceği kaç farklı değer vardır ?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 7
$

Çözüm:

Yanıt : $\boxed{A}$

$2014n^2+2018n+2015 \equiv 4n^2+8n+5 \equiv (2n+2)^2+1 \pmod{10}$ olur. Çift tam kare sayıların $10$ modunda kalanlarını inceleyelim. $ x = 0,2,4,6,8 \Rightarrow x^2 \equiv 0,4,6,6,4 \pmod{10} $ olduğunu görüyoruz. Buna göre $(2n+2)^2+1 \equiv 1,5,7 \pmod{10}$ olup üç değer alabilir.

$6^x-3(3^x+2^x)-3^x+12=0$ denklemini sağlayan $x$ gerçel sayılarının toplamı kaçtır ?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

Çözüm:

Yanıt:$\boxed{C}$

$3^x=a$ ve $2^x=b$ olsun. Denklemde yerine yazarsak $ab-4a-3b+12=(a-3)(b-4)=0$ bulunur. Bu da ya $a=3$ ya da $b=4$ demektir. $a=3$ ise $x=1$ ve $b=4$ ise $x=2$ bulunur. Cevap $1+2=3$ tür.

$1,2, \cdots , 100$ sayıları tahtaya, her biri $10$ eleman içeren $10$ gruba ayrılarak yazılmıştır. Önce her grubun en küçük $2$ elemanı ve daha sonra da kalan $80$ sayının en küçük $10$ tanesi siliniyor. Tahtada kalan $70$ sayının en küçüğü en az kaç olabilir ?

$
\textbf{a)}\ 13
\qquad\textbf{b)}\ 14
\qquad\textbf{c)}\ 15
\qquad\textbf{d)}\ 16
\qquad\textbf{e)}\ 17
$

Bir $ABC$ üçgeninde iç açıortayların kesişme noktası $I$ dır. $I$ noktasından geçen ve $BC$ ye paralel olan doğru $AB$ ve $AC$ kenarlarını sırasıyla $K$ ve $L$ noktalarında kesmektedir. $|AB|=9, |AC|=15, |BC|=8$ olduğuna göre $|KB|$ kaçtır ?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{3}{2}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{9}{5}
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{9}{4}
\qquad\textbf{e)}\ 3
$

Pozitif tam sayılardan oluşan bir kümede, herhangi iki elemanın $1$ den büyük bir ortak böleni vardır, fakat herhangi üç elemanının $1$ den büyük ortak böleni yoktur. $2015$ sayısı bu kümede bulunuyorsa, bu küme en çok kaç elemanlı olabilir ?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 6
$

Evden okula bisikletle giden Ali, yolun ilk yarısını $a$, ikinci yarısını da $b$ hızıyla giderek bu yolu $23$ dakikada tamamlayabiliyor. Dönüşte de aynı yolu kullanan Ali, $10$ dakika $a$, $10$ dakika da $b$ hızıyla giderek evine varabiliyor. Buna göre, $\dfrac{a}{b}$ nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır ?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{33}{20}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{28}{13}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{23}{10}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{13}{5}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{23}{7}
$

Yan yana dizili $6$ adet kartın her birinin üzerine mutlak değeri $3$ ten küçük olan bir tam sayı yazılacaktır. Yazılan sayıların çarpımı $1$ den büyük olmak koşuluyla, bu işlem kaç farklı şekilde yapılabilir ?

$
\textbf{a)}\ 1024
\qquad\textbf{b)}\ 2016
\qquad\textbf{c)}\ 3192
\qquad\textbf{d)}\ 4030
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Köşegenleri $P$ noktasında kesişen bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $|AB|=3,|BC|=13,|CD|=22,|DA|=18$ olduğuna göre $P$ noktasının, bu dörtgenin kenarlarının orta notalarına olan uzaklıkları toplamı nedir?

$
\textbf{a)}\ 24
\qquad\textbf{b)}\ 26
\qquad\textbf{c)}\ 28
\qquad\textbf{d)}\ 30
\qquad\textbf{e)}\ 32
$

Kaç farklı $m$ pozitif tam sayısı için, $n^2+3$ ve $(n+2)^2+2$ sayılarının her ikisini de $m$ nin katı yapan bir $n$ tam sayısı bulunabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

Kaç farklı $c$ gerçel sayısı için $2x^2+y^2+1 = cx(y+1) $ denklemini sağlayan tam olarak bir $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

Sonsuz bir satranç tahtasının $2015$ adet birim karesi kırmızıya, geriye kalanlar ise beyaza boyanmıştır. Ortak kenara sahip olup farklı renklere boyanmış olan birim kare ikililerinin sayısı en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 176
\qquad\textbf{b)}\ 180
\qquad\textbf{c)}\ 184
\qquad\textbf{d)}\ 188
\qquad\textbf{e)}\ 192
$

$O_{1}$ ve $O_{2}$ merkezli iki çember $A$ ve $B$ noktalarında kesişmektedirler. $B$ noktasından geçen bir doğru çemberleri sırasıyla $C$ ve $D$ noktalarında kesmektedir. $|CB|=|BD|, s\left ( \widehat{CAD} \right )=90^\circ$ ve $O_{1}$ ve $O_{2}$ mekezli çemberlerin yarıçapları sırasıyla $3$ ve $4$ olduğuna göre $|O_{1}O_{2}|$ kaçtır ?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt{3}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{7}{2}
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$1+7+\cdots+7^n$ sayısının $60$ ile tam bölünmesini sağlayan en küçük $n$ doğal sayısı kaçtır ?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 11
\qquad\textbf{c)}\ 17
\qquad\textbf{d)}\ 19
\qquad\textbf{e)}\ 23
$

$xy+yz+zx=1$ ve $x,y,z \geq 0$ koşullarını sağlayan her $(x,y,z)$ gerçel sayı üçlüsü $$1+\dfrac{z}{x+y} \geq K(1+z^2)$$ eşitsizliğini de sağlıyorsa, $K$ gerçel sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır ?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{9}{8}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{2}{\sqrt{3}}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Aslı her hamlede, başlangıçta beyaz renge boyalı $10 \times 10$ satranç tahtasının bir beyaz birim karesini seçip kırmızıya boyuyor ve bu kareye bu kareyle ortak kenar paylaşan beyaz birim kare sayısını yazıyor. $100$ işlem sonucunda tahtadaki sayıların toplamı en az kaç olabilir ?

$
\textbf{a)}\ 172
\qquad\textbf{b)}\ 182
\qquad\textbf{c)}\ 186
\qquad\textbf{d)}\ 190
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Bir $ABC$ üçgeninde $|AC|=|AB|=25$ ve $|BC|=40$ tır. $[BC]$ nin orta noktası $D , B$ den $AC$ ye çizilen dikmenin ayağı ise $E$ dir. Buna göre, $D$ den geçen ve $AC$ doğrusuna $E$ de teğet olan çemberin çapı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{100}{3}
\qquad\textbf{b)}\ 36
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{112}{3}
\qquad\textbf{d)}\ 38
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$a,b,c$ tam sayılar olmak üzere, $3a^3+5b^3-7c^3$ ifadesi $8,14,27,30$ değerlerinden kaçına eşit olabilir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere, $5(a^2+b^2)-8ab-6a$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ -7
\qquad\textbf{b)}\ -6
\qquad\textbf{c)}\ -5
\qquad\textbf{d)}\ -4
\qquad\textbf{e)}\ -3
$

$1,2,\cdots,20$ sayılarının her biri kırmızı ve mavi renklerden birine, her $k=1,2,\cdots,a$ için farkları $k$ olan iki kırmızı ve iki mavi sayı bulunacak biçimde boyanabiliyorsa, $a$ nın alabileceği en büyük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 14
\qquad\textbf{b)}\ 15
\qquad\textbf{c)}\ 16
\qquad\textbf{d)}\ 17
\qquad\textbf{e)}\ 18
$

Bir $\omega$ çemberine bu çemberin dış bölgesinde yer alan bir $A$ noktasından çizilen bir teğetin değme noktası $B$ dir. $A$ noktasından geçen bir doğru $\omega$ çemberini sırasıyla $C$ ve $D$ noktalarında kesiyor. $D$ de geçen ve $AB$ doğrusuna paralel olan doğru $\omega$ yı ikinci kez $AD$ doğrusuna göre $B$ ile farklı tarafta kalan bir $E$ noktasında kesiyor. $BC$ ile $AE$ doğruları $F$ noktasında kesişiyor. Buna göre $\dfrac{|AC|}{|BC|}=2$ ise $\dfrac{|AF|}{|FE|}$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{2}
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt{2}
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

$k$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, her $a$ tam sayısı için $2^{n_{1}}+2^{n_{2}}+\cdots+2^{n_{k}} \equiv a \pmod{20}$ olacak biçimde $n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}$ negatif olmayan tam sayıları bulunabiliyorsa, $k$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

$x,y,z$ gerçel sayıları $x+y+z=1$ ve $xyz=xy+yz+zx$ koşullarını sağlıyorsa, $(x+yz)(y+zx)(z+xy)$ ifadesi $0,1,2,5$ sayılarından kaçına eşit olabilir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

Başlangıçta, tahtaya $1$ ve $2$ sayıları yazılmıştır. Aslı ve Burak sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar ve sırası gelen oyuncu tahtadaki sayılardan istediği birinin rakamları toplamını tahtadaki sayılardan istediği birine ekliyor. Tahtaya $N$ den büyük olan bir sayıyı ilk defa yazan oyuncu oyunu kazanıyor. Oyuna Aslı başlamak üzere bu oyun, $N = 2013, 2014, 2015, 2016$ ve $2017$ değerleri için birer kez oynanırsa, Aslı kaç kez oyunu kazanmayı garantileyebilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$