Geomania.Org Forumları

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB|=|AC|$ ve $s(\widehat{A})=80$ derecedir.Bu üçgenin $B$ açısının iç açıortayı ile $C$ açısının dış açıortayı $D$ noktasında kesişmektedirler. $s(\widehat{ADC})$ kaç derecedir?

$
\textbf{a)}\ 50
\qquad\textbf{b)}\ 60
\qquad\textbf{c)}\ 65
\qquad\textbf{d)}\ 80
\qquad\textbf{e)}\ 100
$

Bir grup çocuk, içinde kırmızı ve beyaz şekerler bulunan bir torbadaki kırmızı şekerlerin $\dfrac{4}{11}$ ini ve beyaz şekerlerin $\dfrac{11}{17}$ sini yedikten sonra torbada her iki renkten eşit sayıda şeker kaldıysa, yenilen beyaz şekerlerin sayısı ile yenilen kırmızı şekerlerin sayısı arasındaki fark en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 47
\qquad\textbf{b)}\ 53
\qquad\textbf{c)}\ 61
\qquad\textbf{d)}\ 75
\qquad\textbf{e)}\ 82
$

Bir pozitif tam sayıdan rakamları toplamı çıkarıldığında, bu sayının rakamları çarpımı elde ediliyorsa bu sayıya iyi sayı diyelim. Kaç iyi sayı vardır ?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 9
\qquad\textbf{d)}\ 13
\qquad\textbf{e)}\ 20
$

Bir kutuda başlangıçta $10$ kırmızı, $15$ mavi, $20$ yeşil ve $25$ siyah top bulunuyor. Her hamlede $3$ farklı renkli top seçilip kutudan çıkarılıyorsa, yapılabilecek hamle sayısı en fazla kaç olabilir ?

$
\textbf{a)}\ 19
\qquad\textbf{b)}\ 20
\qquad\textbf{c)}\ 21
\qquad\textbf{d)}\ 22
\qquad\textbf{e)}\ 23
$

Bir dışbükey çokgenin iç açılarının derece ile ölçülmüş değerleri birbirinden farklı tam sayılardır. Bu çokgenin $3$ tane iç açısı sırasıyla $55, 65$ ve $75$ derece olduğuna göre bu çokgenin en fazla kaç tane kenarı olabilir ?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ 9
$

$A$ ve $B$ birer rakam olmak üzere, on tabanına göre yazılımı $2015AB$ olan sayı $71$ ile tam bölünüyorsa, $A+B$ kaçtır ?

$
\textbf{a)}\ 9
\qquad\textbf{b)}\ 11
\qquad\textbf{c)}\ 13
\qquad\textbf{d)}\ 15
\qquad\textbf{e)}\ 17
$

İki kavanozdan birinde $2$, diğerinde $5$ litre şekerli su bulunuyor. Her iki kavanozdan aynı anda $t$' şer litre şekerli su alınıp yer değiştiriliyor. Bu işlem sonucunda kavanozlardaki, başlangıçta farklı olan şeker oranları eşitlendiyse, $t$ kaçtır ?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{10}{7}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{9}{5}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3}{10}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{3}{7}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{13}{10}
$

$1,2, \cdots , 20$ sayıları ile numaralandırılmış $20$ top başlangıçta rastgele dizilmiştir. Her işlemde aralarında en az $\ell$ adet top bulunan iki topun yerlerini değiştirerek bir kaç işlem sonucunda topları numaralarına göre artan sırada dizebiliyorsak, $\ell$ nin alabileceği en büyük değer nedir ? 

$
\textbf{a)}\ 7
\qquad\textbf{b)}\ 8
\qquad\textbf{c)}\ 9
\qquad\textbf{d)}\ 10
\qquad\textbf{e)}\ 11
$

Köşeleri, alanı $4$ olan bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninin kenarları üzerinde ve kenarları da $AC$ ve $BD$ köşegenlerine paralel olan bir paralelkenarın alanı en çok kaç olabilir ?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{2}
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt{2}
\qquad\textbf{e)}\ 3
$

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $2014n^2+2018n+2015$ sayısının birler basamağındaki rakamın alabileceği kaç farklı değer vardır ?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 7
$

$6^x-3(3^x+2^x)-3^x+12=0$ denklemini sağlayan $x$ gerçel sayılarının toplamı kaçtır ?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

$1,2, \cdots , 100$ sayıları tahtaya, her biri $10$ eleman içeren $10$ gruba ayrılarak yazılmıştır. Önce her grubun en küçük $2$ elemanı ve daha sonra da kalan $80$ sayının en küçük $10$ tanesi siliniyor. Tahtada kalan $70$ sayının en küçüğü en az kaç olabilir ?

$
\textbf{a)}\ 13
\qquad\textbf{b)}\ 14
\qquad\textbf{c)}\ 15
\qquad\textbf{d)}\ 16
\qquad\textbf{e)}\ 17
$

Bir $ABC$ üçgeninde iç açıortayların kesişme noktası $I$ dır. $I$ noktasından geçen ve $BC$ ye paralel olan doğru $AB$ ve $AC$ kenarlarını sırasıyla $K$ ve $L$ noktalarında kesmektedir. $|AB|=9, |AC|=15, |BC|=8$ olduğuna göre $|KB|$ kaçtır ?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{3}{2}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{9}{5}
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{9}{4}
\qquad\textbf{e)}\ 3
$

Pozitif tam sayılardan oluşan bir kümede, herhangi iki elemanın $1$ den büyük bir ortak böleni vardır, fakat herhangi üç elemanının $1$ den büyük ortak böleni yoktur. $2015$ sayısı bu kümede bulunuyorsa, bu küme en çok kaç elemanlı olabilir ?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 6
$

Evden okula bisikletle giden Ali, yolun ilk yarısını $a$, ikinci yarısını da $b$ hızıyla giderek bu yolu $23$ dakikada tamamlayabiliyor. Dönüşte de aynı yolu kullanan Ali, $10$ dakika $a$, $10$ dakika da $b$ hızıyla giderek evine varabiliyor. Buna göre, $\dfrac{a}{b}$ nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır ?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{33}{20}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{28}{13}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{23}{10}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{13}{5}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{23}{7}
$

Yan yana dizili $6$ adet kartın her birinin üzerine mutlak değeri $3$ ten küçük olan bir tam sayı yazılacaktır. Yazılan sayıların çarpımı $1$ den büyük olmak koşuluyla, bu işlem kaç farklı şekilde yapılabilir ?

$
\textbf{a)}\ 1024
\qquad\textbf{b)}\ 2016
\qquad\textbf{c)}\ 3192
\qquad\textbf{d)}\ 4030
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Köşegenleri $P$ noktasında kesişen bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $|AB|=3,|BC|=13,|CD|=22,|DA|=18$ olduğuna göre $P$ noktasının, bu dörtgenin kenarlarının orta notalarına olan uzaklıkları toplamı nedir?

$
\textbf{a)}\ 24
\qquad\textbf{b)}\ 26
\qquad\textbf{c)}\ 28
\qquad\textbf{d)}\ 30
\qquad\textbf{e)}\ 32
$

Kaç farklı $m$ pozitif tam sayısı için, $n^2+3$ ve $(n+2)^2+2$ sayılarının her ikisini de $m$ nin katı yapan bir $n$ tam sayısı bulunabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

Kaç farklı $c$ gerçel sayısı için $2x^2+y^2+1 = cx(y+1) $ denklemini sağlayan tam olarak bir $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

Sonsuz bir satranç tahtasının $2015$ adet birim karesi kırmızıya, geriye kalanlar ise beyaza boyanmıştır. Ortak kenara sahip olup farklı renklere boyanmış olan birim kare ikililerinin sayısı en az kaç olabilir? 

$
\textbf{a)}\ 176
\qquad\textbf{b)}\ 180
\qquad\textbf{c)}\ 184
\qquad\textbf{d)}\ 188
\qquad\textbf{e)}\ 192
$

$O_{1}$ ve $O_{2}$ merkezli iki çember $A$ ve $B$ noktalarında kesişmektedirler. $B$ noktasından geçen bir doğru çemberleri sırasıyla $C$ ve $D$ noktalarında kesmektedir. $|CB|=|BD|, s\left ( \widehat{CAD} \right )=90^\circ$ ve $O_{1}$ ve $O_{2}$ mekezli çemberlerin yarıçapları sırasıyla $3$ ve $4$ olduğuna göre $|O_{1}O_{2}|$ kaçtır ?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt{3}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{7}{2}
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$1+7+\cdots+7^n$ sayısının $60$ ile tam bölünmesini sağlayan en küçük $n$ doğal sayısı kaçtır ?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 11
\qquad\textbf{c)}\ 17
\qquad\textbf{d)}\ 19
\qquad\textbf{e)}\ 23
$

$xy+yz+zx=1$ ve $x,y,z \geq 0$ koşullarını sağlayan her $(x,y,z)$ gerçel sayı üçlüsü $$1+\dfrac{z}{x+y} \geq K(1+z^2)$$ eşitsizliğini de sağlıyorsa, $K$ gerçel sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır ?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{9}{8}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{2}{\sqrt{3}}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Aslı her hamlede, başlangıçta beyaz renge boyalı $10 \times 10$ satranç tahtasının bir beyaz birim karesini seçip kırmızıya boyuyor ve bu kareye bu kareyle ortak kenar paylaşan beyaz birim kare sayısını yazıyor. $100$ işlem sonucunda tahtadaki sayıların toplamı en az kaç olabilir ?

$
\textbf{a)}\ 172
\qquad\textbf{b)}\ 182
\qquad\textbf{c)}\ 186
\qquad\textbf{d)}\ 190
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Bir $ABC$ üçgeninde $|AC|=|AB|=25$ ve $|BC|=40$ tır. $[BC]$ nin orta noktası $D , B$ den $AC$ ye çizilen dikmenin ayağı ise $E$ dir. Buna göre, $D$ den geçen ve $AC$ doğrusuna $E$ de teğet olan çemberin çapı kaçtır? 

$
\textbf{a)}\ \dfrac{100}{3}
\qquad\textbf{b)}\ 36
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{112}{3}
\qquad\textbf{d)}\ 38
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$a,b,c$ tam sayılar olmak üzere, $3a^3+5b^3-7c^3$ ifadesi $8,14,27,30$ değerlerinden kaçına eşit olabilir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere, $5(a^2+b^2)-8ab-6a$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ -7
\qquad\textbf{b)}\ -6
\qquad\textbf{c)}\ -5
\qquad\textbf{d)}\ -4
\qquad\textbf{e)}\ -3
$

$1,2,\cdots,20$ sayılarının her biri kırmızı ve mavi renklerden birine, her $k=1,2,\cdots,a$ için farkları $k$ olan iki kırmızı ve iki mavi sayı bulunacak biçimde boyanabiliyorsa, $a$ nın alabileceği en büyük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 14
\qquad\textbf{b)}\ 15
\qquad\textbf{c)}\ 16
\qquad\textbf{d)}\ 17
\qquad\textbf{e)}\ 18
$

Bir $\omega$ çemberine bu çemberin dış bölgesinde yer alan bir $A$ noktasından çizilen bir teğetin değme noktası $B$ dir. $A$ noktasından geçen bir doğru $\omega$ çemberini sırasıyla $C$ ve $D$ noktalarında kesiyor. $D$ de geçen ve $AB$ doğrusuna paralel olan doğru $\omega$ yı ikinci kez $AD$ doğrusuna göre $B$ ile farklı tarafta kalan bir $E$ noktasında kesiyor. $BC$ ile $AE$ doğruları $F$ noktasında kesişiyor. Buna göre $\dfrac{|AC|}{|BC|}=2$ ise $\dfrac{|AF|}{|FE|}$ kaçtır?   

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{2}
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt{2}
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

$k$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, her $a$ tam sayısı için $2^{n_{1}}+2^{n_{2}}+\cdots+2^{n_{k}} \equiv a \pmod{20}$ olacak biçimde $n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}$ negatif olmayan tam sayıları bulunabiliyorsa, $k$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

$x,y,z$ gerçel sayıları $x+y+z=1$ ve $xyz=xy+yz+zx$ koşullarını sağlıyorsa, $(x+yz)(y+zx)(z+xy)$ ifadesi $0,1,2,5$ sayılarından kaçına eşit olabilir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

Başlangıçta, tahtaya $1$ ve $2$ sayıları yazılmıştır. Aslı ve Burak sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar ve sırası gelen oyuncu tahtadaki sayılardan istediği birinin rakamları toplamını tahtadaki sayılardan istediği birine ekliyor. Tahtaya $N$ den büyük olan bir sayıyı ilk defa yazan oyuncu oyunu kazanıyor. Oyuna Aslı başlamak üzere bu oyun, $N = 2013, 2014, 2015, 2016$ ve $2017$ değerleri için birer kez oynanırsa, Aslı kaç kez oyunu kazanmayı garantileyebilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$