Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme - 2015 Çözümleri

$a$ bir gerçel sayı olsun.$$y^2=x^3+(a-1)x^2+a^2x$$$$x^2=y^3+(a-1)y^2+a^2y$$denklem sisteminin tüm $(x,y)$ gerçel çözüm ikililerini bulunuz.

Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarının orta noktası $D$ olmak üzere, $ABD$ üçgeninin iç bölgesinde yer alan bir $P$ noktası$$m(\widehat{PAD})=90^\circ-m(\widehat{PBD})=m(\widehat{CAD})$$koşullarını sağlıyor. $PC$ ve $AD$ doğruları $Q$ noktasında kesişiyorsa, $m(\widehat{PQB})=m(\widehat{BAC})$ olduğunu gösteriniz.

$(a_1,a_2,\ldots,a_{2015})$, $(1,2,\ldots,2015)$ sayılarının herhangi bir permütasyonu olsun. $(1,2,\ldots,2015)$ iki bin on beşlisinden başlayıp, her adımda elimizdeki $(b_1, b_2, \ldots, b_{2015})$ iki bin on beşlisinin çift olan herhangi bir bileşenini ikiye bölüp, yarısını da başka bir bileşene ekleme işlemini uygulayarak, sonlu sayıda adım sonucunda $(a_1,a_2,\ldots,a_{2015})$ iki bin on beşlisini elde edebileceğimizi gösteriniz.

$m^4+2n^3+1=mn^3+n$ eşitliğini sağlayan tüm $(m,n)$ tam sayı ikililerini bulunuz.

$a\ge b\ge0$ gerçel sayılar olsun. Koordinat düzleminde,

$K=\{(x,y): x\ge y\ge0$ ve her $n$ pozitif tam sayısı için $a^n+b^n\ge x^n+y^n\}$

biçiminde tanımlanan bölgenin alanını bulunuz.

$2015$ kişinin katıldığı bir davette herhangi $5$ kişiden en çok $6$ ikili birbirleriyle el sıkışmıştır. Bu davetteki el sıkışmaların sayısının en çok kaç olabileceğini belirleyiniz.