Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı - 2015

Dar açılı $\triangle ABC$ üçgeninde $C$ köşesinden çizilen dikmenin ayağı $D$ noktasıdır. $\angle ABC$ açısının iç açıortayı, $CD$ yi $E$ noktasında, $\triangle ADE$ nin çevrel çemberi $\omega$ yı yeniden $F$ noktasında kesiyor. $\angle ADF=45^\circ$ ise $CF$ nin $\omega$ ya teğet olduğunu gösteriniz.

Domino $2 \times 1$ veya $1 \times 2$ boyutlu bir taştır. Tam olarak $n^2$ sayıda dominonun, $2n \times 2n$ boyutlu satranç tahtasına, dominolar üst üste gelmeyecek ve tahtanın her $2\times 2$ karesinde aynı satır veya aynı sütunda bulunan en az $2$ kapanmamış birim kare olacak biçimde kaç farklı şekilde yerleştirilebileceğini belirleyiniz.

$n, m$ tam sayıları $1$ den büyüktür ve $a_1, a_2, \dots , a_m$ sayıları $n^m$ den büyük olmayan pozitif tam sayılardır. Her biri $n$ den büyük olmayan ve $$\text{obeb}(a_1+b_1, a_2+b_2, \dots ,a_m+b_m)<n$$koşulunu sağlayan $b_1, b_2, \dots , b_m$ pozitif tamsayılarının bulunduğunu gösteriniz
($\text{obeb}(x_1, x_2, \dots ,x_m)$ ile $x_1, x_2, \dots , x_m$ sayılarının en büyük ortak böleni gösterilmiştir).

Her $n$ pozitif tam sayısı için$$a_{n+2} = a_{n+1}+\sqrt{a_{n+1} + a_n}$$koşulunu sağlayan $a_1, a_2, a_3,\dots$ sonsuz pozitif tamsayı dizisinin var olup olmadığını belirleyiniz.

$m>1$ olmak üzere $m, n$ pozitif tamsayılar olsun. Ayşe $1, 2, \dots, 2m$ tam sayılarını $m$ tane ikiliye ayırıyor. Mehmet ise her ikiliden bir tam sayı seçiyor ve seçtiği sayıların toplamını buluyor. Ayşe'nin bu ikilileri, Mehmet'in kendi toplamını $n$ sayısına eşit yapamayacağını sağlayacak biçimde oluşturabileceğini gösteriniz.

$AB \neq AC$ olmak üzere dar açılı $\triangle ABC$ üçgeninin diklik merkezi ve ağırlık merkezi sırasıyla $H$ ve $G$ noktaları olsun. $AG$ doğrusu $\triangle ABC$ nin çevrel çemberini $A$ ve $P$ noktalarında kesmektedir. $P'$ noktası $P$ nin $BC$ ye göre simetriği olsun. $\angle CAB=60^\circ$ ancak ve ancak $HG=GP'$ olduğunu gösteriniz.