Tübitak Lise Takım Seçme - 2015 Çözümleri

$l, m, n$ pozitif tam sayılar ve $p$ bir asal sayı olmak üzere, $$p^{2l-1}m(mn+1)^2+m^2$$ bir tam kare ise, $m$ nin de bir tam kare olduğunu gösteriniz.

(Şahin Emrah, Melih Üçer)

Çözüm 1:

(Mehmet Utku Özbek)

İfadeyi $m$ parantezine alalım.

$\Longrightarrow m[\ p^{2l-1}(mn+1)^2+m]=x^2$

Eğer $m$ tam kare değilse $m$ in ikinci parantezi bölmesi gerekir. $m$ ile $(mn+1)^2$ aralarında asal olduğu için $m \mid p^{2l-1}$ olmalıdır. O zaman $m=p^a$ formundadır. Eğer $a$ nın tek olmaması gerektiğini gösterirsek ispat biter. Şimdi ifadede $m=p^a$ yazalım.

$\Longrightarrow m[\ p^{2l-1}(mn+1)^2+m]=p^a[\ p^{2l-1}(p^{a}n+1)^2+p^a]=p^{2a}[\ p^{2l-a-1}(p^{a}n+1)^2+1]=x^2$

Dolayısıyla son ifadedeki ikinci parantez de tam kare olmalıdır.

$\Longrightarrow p^{2l-a-1}(p^{a}n+1)^2+1=y^2$

Eğer $a$ tek olursa $2l-a-1$ çift olacağından ifade aslında $c=p^{\tfrac{2l-a-1}{2}}(p^{a}n+1)$ olmak üzere $c^2+1=y^2$ halindedir. Bunun da pozitif tamsayılarda çözümü yoktur. Yani $a$ tek olamaz. İspat biter.

Çözüm 2:

$m[\ p^{2l-1}(mn+1)^2+m]=x^2$ ifadesinde $q$ bir asal olsun, $m$'yi bölsün ve $q \ne p$ olsun, $q$ köşeli parantezle aralarında asaldır yani $q$'nun üssü çifttir, şimdi incelenmesi gereken $p$ asalının üssüdür.

Eğer $p$'nin üssü çift ise kanıt biter, $m$ tamkaredir.

Eğer $p$'nin üssü tek ise m, $m = p^{2k+1} \cdot A^2$, $OBEB(p, A) = 1$ şeklinde yazılabilir. $A^2 \cdot p^{2k+1}[\ p^{2l-1}(mn+1)^2+m]$ ifadesinin tam kare olabilmesi için $p^{2l}(mn+1)^2+pm=(p^l(mn+1))^2+pm$ ifadesinin tam kare olabilmesi gerekir fakat $(p^l(mn+1) +1)^2 > (p^l(mn+1))^2+pm > (p^l(mn+1))^2$ yani ifade tam kare olamaz, gösterilmek istenen de buydu. $\blacksquare$

Düzlemde herhangi ikisi arasındaki uzaklık birbirinden farklı olan $2015$ nokta verilmiştir. Bir noktaya en yakın $22$ noktanın her biri bu noktanın komşusu ise, bir nokta en fazla kaç noktanın komşusu olabilir?

(Selim Bahadır)

$m, n$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $0$ ve $1$ lerden oluşan ve her ardışık $m$ elemanının en az biri $0$ olan dizilerin sayısı $S(n,m)$ olsun. $$S(2015n,n)\cdot S(2015m,m) \ge S(2015n,m)\cdot S(2015m,n)$$ olduğunu gösteriniz.

(Melih Üçer)

$|AB|=|AC|$ koşulunu sağlayan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin küçük $AB$ ve $AC$ yayları üzerinde sırasıyla üçgenin köşelerinden farklı $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $AD$ ve $BC$ doğrularının kesişme noktası $F$, $AE$ doğrusunun $FDE$ üçgeninin çevrel çemberini ikinci kez kestiği nokta ise $G$ olsun. $AC$ doğrusunun $ECG$ üçgeninin çevrel çemberine teğet olduğunu gösteriniz.

(Şahin Emrah)

Çözüm:

(Mehmet Utku Özbek)

İspatlamamız gereken $|AC|^2=|AE|\cdot |AG|$ olduğudur. $F \ , \ D \ , \ E \ , \ G$ çemberseldi. Dolayısıyla $|AE|\cdot |AG|=|AD|\cdot |AF|$ dir. $|AB|=|AC|$ olduğu için $|AB|^2=|AD|\cdot |AF|$ olduğunu ispatlarsak soru biter. Yani $AB$

doğrusunun $FDB$ üçgeninin çevrel çemberine teğet olduğunu ispatlamalıyız. $\angle DFB= \alpha \ , \ \angle DBA=\beta \ , \ \angle DAB=\theta$ olsun. $\alpha=\beta$ olduğunu ispatlamalıyız. $\angle ABC=\angle ACB=\alpha + \theta$ olur. Aynı yayı gördükleri

için $\angle DAB= \angle DEB=\theta$ olur. Benzer şekilde $\angle DBA=\angle DEA=\beta $ olur. Yani $\angle AEB= \beta + \theta$ olur. Yine aynı yayı gördükleri için $\angle ACB=\angle AEB$ olur. Yani $\alpha + \theta=\beta + \theta$ olur. Dolayısıyla $\alpha=\beta$ olur. İspat biter.

$2015\times2015$ satranç tahtasının birim kareleri; ikisi aynı sütunda ve üçüncüsü bu iki kareden daha yukarıdakiyle aynı satırda ve ondan sağda veya bu iki kareden daha aşağıdakiyle aynı satırda ve ondan solda olan herhangi üçü aynı renge boyanmayacak koşuluyla $k$ renge boyanabiliyorsa, $k$ nın alabileceği en küçük değer nedir?

(Azer Kerimov)

Çözüm:

Yanıt $k=1008$.

$2015 \times 2015$ satranç tahtasının birim karelerinden oluşan $(u_1, u_2, u_3)$ üçlüsüne; $u_1$ ve $u_2$ aynı sütunda, $u_1$ karesi $u_2$ den daha yukarıda, $u_3$ karesi $u_2$ ile aynı satırda ve $u_2$ den sağda ise L-üçlüsü diyelim.

Renklerden biri kırmızı olsun. Kırmızı renge boyalı birim karelerin sayısının en fazla $4029$ olduğunu gösterelim. Her satırın kırmızı birim karelerinin en sağdakini işaretleyelim. O zaman L-üçlüsünün oluşmaması için her sütunda en fazla bir işaretlenmemiş kırmızı birim kare olabilir (sonuncu sütunda işaretlenmemiş kare zaten olamaz). Demek ki en fazla $2015$ işaretlenmiş ve $2014$ işaretlenmemiş kırmızı birim kare olabilir. Buradan $k \geq \frac{2015 \cdot 2015}{ 4029} > 1007$. $ k = 1008$ için örnek: satırları yukarıdan aşağıya, sütunları soldan sağa $1, 2, \dots , 2015$ sayılarıyla numaralandıralım ve $i.$ satırla $j.$ sütunun kesişiminde bulunan $(i, j)$ karesini $\lfloor{\frac{(i+j) \pmod{2016}}{2}}\rfloor$ ile boyarsak sağlar.

Sonsuz tane $n$ pozitif tam sayısı için $(n!)^{n+2015}$ nin $(n^2)!$ sayısını böldüğünü gösteriniz.

(Melih Üçer)

Tüm $x, y$ gerçel sayıları için, $$f(x^2)+4y^2f(y)=(f(x-y)+y^2)(f(x+y)+f(y))$$ koşulunu sağlayan bütün $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ fonksiyonlarını bulunuz.

(Fehmi Emre Kadan)

Çözüm:

$(0,-x)$ ve $(0,x)$ koyulursa $f(x)=f(-x)$ olur. $x=0$ koyup $f(y)=f(-y)$ kullanırsak $4y^2f(y)=2f(y).(f(y)+y^2)$ olur. $f(y)=0$ sabit fonksiyonu sağlar. $f(y) \neq 0$ için $y^2=f(y)$ olur. Sonuç olarak $f(x)=0,f(x)=x^2$ sağlar.

Ancak incelenmesi gereken bir şey daha vardır: Bazı $x$ ler için $f(x)=0$ bazıları için $f(x)=x^2$ olabilir. $f(u) \neq u^2$ olanlar için $f(x+2u)=f(x)$ olduğunu biliyoruz. $(0,x)$ ve $(0,x+2u)$ koyulursa $(x+u)f(x)=0$ elde edilir. $\forall x\ne -u$ için $f(x)=0$ elde edilir. $f(u)=0$ olduğundan ve baştaki bulgulardan $f(-u)=0$ olur. O halde her $u$ için $f(u)=0$ olmalıdır.

$f(x)=0, f(x)=x^2$ sağlar.

İç teğet çemberinin merkezi $I$, çevrel çemberinin merkezi $O$ olan ve $|AC| \gt |BC| \gt |AB|$ koşulunu sağlayan bir $ABC$ üçgeninde iç teğet çember $BC, CA, AB$ kenarlarına sırasıyla $D, E, F$ noktalarında teğettir. $A$ noktasının $F$ ve $E$ ye göre simetrikleri sırasıyla $F_{1}$ ve $E_{1}$ olmak üzere; $BC$ doğrusuna $D$ de teğet olan ve $F_{1}$ den geçen çember $AB$ doğrusunu ikinci kez $F_{2}$ de, $BC$ doğrusuna $D$ de teğet olan ve $E_{1}$ den geçen çember ise $AC$ doğrusunu ikinci kez $E_{2}$ de kesiyor. $OE$ ve $IF$ doğru parçalarının orta noktaları sırasıyla $P$ ve $Q$ olmak üzere,$$|AB|+|AC|=2\cdot |BC| \Longleftrightarrow PQ \perp E_{2}F_{2}$$olduğunu gösteriniz.

(Fehmi Emre Kadan)

Bir ülkedeki $2015$ kentten herhangi ikisi arasında tam olarak bir karşılıklı uçak seferi yapılmaktadır. Herhangi üç kent arasındaki direkt seferler en fazla iki şirket tarafından yapılacak koşuluyla seferler birkaç hava yolu şirketi arasında nasıl paylaşılmış olursa olsun, aynı hava yolu tarafından $k$ sefer yapılan bir kent bulunuyorsa, $k$ nın alabileceği en büyük değer nedir?

(Azer Kerimov)