Geomania.Org Forumları

$l, m, n$ pozitif tam sayılar ve $p$ bir asal sayı olmak üzere, $$p^{2l-1}m(mn+1)^2+m^2$$ bir tam kare ise, $m$ nin de bir tam kare olduğunu gösteriniz.

Düzlemde herhangi ikisi arasındaki uzaklık birbirinden farklı olan $2015$ nokta verilmiştir. Bir noktaya en yakın $22$ noktanın her biri bu noktanın komşusu ise, bir nokta en fazla kaç noktanın komşusu olabilir?

$m, n$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $0$ ve $1$ lerden oluşan ve her ardışık $m$ elemanının en az biri $0$ olan dizilerin sayısı $S(n,m)$ olsun. $$S(2015n,n)\cdot S(2015m,m) \ge S(2015n,m)\cdot S(2015m,n)$$ olduğunu gösteriniz.

$|AB|=|AC|$ koşulunu sağlayan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin küçük $AB$ ve $AC$ yayları üzerinde sırasıyla üçgenin köşelerinden farklı $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $AD$ ve $BC$ doğrularının kesişme noktası $F$, $AE$ doğrusunun $FDE$ üçgeninin çevrel çemberini ikinci kez kestiği nokta ise $G$ olsun. $AC$ doğrusunun $ECG$ üçgeninin çevrel çemberine teğet olduğunu gösteriniz.

$2015\times2015$ satranç tahtasının birim kareleri; ikisi aynı sütunda ve üçüncüsü bu iki kareden daha yukarıdakiyle aynı satırda ve ondan sağda veya bu iki kareden daha aşağıdakiyle aynı satırda ve ondan solda olan herhangi üçü aynı renge boyanmayacak koşuluyla $k$ renge boyanabiliyorsa, $k$ nın alabileceği en küçük değer nedir?

Sonsuz tane $n$ pozitif tam sayısı için $(n!)^{n+2015}$ nin $(n^2)!$ sayısını böldüğünü gösteriniz.

Tüm $x, y$ gerçel sayıları için, $$f(x^2)+4y^2f(y)=(f(x-y)+y^2)(f(x+y)+f(y))$$ koşulunu sağlayan bütün $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ fonksiyonlarını bulunuz.

İç teğet çemberinin merkezi $I$, çevrel çemberinin merkezi $O$ olan ve $|AC| \gt |BC| \gt |AB|$ koşulunu sağlayan bir $ABC$ üçgeninde iç teğet çember $BC, CA, AB$  kenarlarına sırasıyla  $D, E, F$ noktalarında teğettir. $A$ noktasının $F$ ve $E$ ye göre simetrikleri sırasıyla $F_{1}$ ve $E_{1}$  olmak üzere; $BC$ doğrusuna $D$ de teğet olan ve $F_{1}$ den geçen çember $AB$ doğrusunu ikinci kez $F_{2}$ de, $BC$ doğrusuna $D$ de teğet olan ve $E_{1}$ den geçen çember ise $AC$ doğrusunu ikinci kez $E_{2}$ de kesiyor. $OE$ ve  $IF$ doğru parçalarının orta noktaları sırasıyla $P$ ve $Q$ olmak üzere,$$|AB|+|AC|=2\cdot |BC| \Longleftrightarrow PQ \perp E_{2}F_{2}$$olduğunu gösteriniz.

Bir ülkedeki $2015$ kentten herhangi ikisi arasında tam olarak bir karşılıklı uçak seferi yapılmaktadır. Herhangi üç kent arasındaki direkt seferler en fazla iki şirket tarafından yapılacak koşuluyla seferler birkaç hava yolu şirketi arasında nasıl paylaşılmış olursa olsun, aynı hava yolu tarafından $k$ sefer yapılan bir kent bulunuyorsa, $k$ nın alabileceği en büyük değer nedir?