Tübitak Ortaokul 2. Aşama - 2014

$a+b+c+abc=4$  koşulunu sağlayan tüm $a,b,c$  pozitif gerçel sayıları için, $$\left (1+\dfrac{a}{b}+ca \right )\left (1+\dfrac{b}{c}+ab \right)\left (1+\dfrac{c}{a}+bc \right) \ge 27$$ olduğunu gösteriniz.

$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $19^{4n}+4$ sayısının en az kaç farklı asal çarpanı olabileceğini belirleyiniz.

Her renkten $19$ ar tane olmak üzere, $106$ farklı renkte $2014$ top bir çemberin çevresine nasıl dizilirse dizilsin, aralarında en az $53$ farklı renkte topun yer aldığı ardışık $n$ top bulunuyorsa, $n$ sayısının alabileceği en küçük değeri belirleyiniz.

Diklik merkezi $H$ olan dar açılı bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstündeki birbirinden farklı $D$ ve $E$ noktaları için, $AD$ ve $AE$ doğru parçaları $BHC$ üçgeninin çevrel çemberini sırasıyla, $P$ ve $Q$ noktalarında kesiyor. $$|BD|^2+|CD|^2=2\cdot |DP|\cdot |DA| \quad \text{ ve } \quad |BE|^2+|CE|^2=2\cdot |EQ|\cdot |EA|$$ eşitlikleri sağlanıyorsa, $|BP|=|CQ|$ olduğunu kanıtlayınız.