Bir torbada üstlerine $1$ den $2014$ e kadar tam sayılar yazılmış $1007$ siyah ve $1007$ beyaz top bulunuyor. Her adımda torbadan $1$ top çekerek masanın üstüne koyuyoruz ve istersek, o an masanın üstünde bulunan toplardan farklı renklerdeki herhangi ikisini seçip diğer bir torbaya koyabiliyoruz. Bunu yaparsak, bu iki topun üstlerinde yazılı olan sayıların farkının mutlak değeri kadar puan kazanıyoruz. $2014$ adım sonunda en fazla kaç puan toplamayı garantileyebileceğimizi belirleyiniz.

$x^3=3^y7^z + 8$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y,z)$ pozitif tamsayı üçlülerini bulunuz.

$D, E, F$ noktaları bir $ABC$ üçgeninin sırasıyla $[BC], [CA], [AB]$ kenarları üstünde olmak üzere $AD, BE, CF$ doğruları $P$ noktasında kesişiyor ve $A$ köşesinden geçen bir $\ell$ doğrusu ile $[DE$ ve $[DF$ ışınları sırasıyla, $Q$ ve $R$ noktalarında kesişiyor. $[DB$ ışını üstündeki bir $M$ noktası ile $[DC$ ışını üstündeki bir $N$ noktası için, $$\dfrac{|QN|^2}{|DN|}+\dfrac{|RM|^2}{|DM|}=\dfrac{(|DQ|+|DR|)^2-2|RQ|^2+2|DM|\cdot|DN|}{|MN|}$$ eşitliği sağlanıyorsa, $AD$ ve $BC$ doğrularının birbirine dik olduğunu gösteriniz.

Bir çemberin birbirine paralel olmayan iki kirişinin orta noktaları $P$ ile $Q$ ve bu kirişlerin uç noktalarından çembere çizilen teğet doğruların kesişim noktaları sırasıyla, $A$ ve $B$ dir. $ABP$ üçgeninin diklik merkezinin $AB$ doğrusuna göre simetriği olan $R$ noktasından $AP$, $BP$, $AQ$, $BQ$ doğrularına inilen dikmelerin ayakları sırasıyla, $R_1, R_2, R_3, R_4$ noktaları ise, $$\dfrac{|AR_1|}{|PR_1|}\cdot\dfrac{|PR_2|}{|BR_2|}=\dfrac{|AR_3|}{|QR_3|} \cdot \dfrac{|QR_4|}{|BR_4|}$$ olduğunu kanıtlayınız.

Hangi $n$ pozitif tamsayıları için, $$\{a_i+\dfrac{(-1)^i}{a_i} : 1\leq i\leq n\}=\{a_i : 1\leq i \leq n\}$$ koşulunu sağlayan birbirinden ve sıfırdan farklı $a_1, a_2, \dots , a_n$ gerçel sayılarının bulunduğunu belirleyiniz.

Otuz altı hava alanından herhangi ikisi arasındaki karşılıklı uçuşlardan her biri beş havayolu şirketinden biri tarafından yapılacaktır. Ulaştırma Bakanlığı her hava alanına, o hava alanında aralarında aktarma yapılabilen aynı şirkete ait her uçuş ikilisi için $1$ milyon lira destek vermeye karar veriyor. Bakanlığın bu uygulama için harcayacağı paranın en az ne kadar olabileceğini belirleyiniz.