Balkan Matematik Olimpiyatı - 2012

$m(\widehat{ABC}) > 90^\circ$ olmak üzere, $A$, $B$ ve $C$ noktaları $O$ merkezli bir $\Gamma$ çemberi üzerinde olsun. $AB$ doğrusu ile $AC$ ye $C$ noktasında dik olan doğrunun kesişim noktası $D$ olsun. $D$ den geçen ve $AO$ ya dik olan doğruyu $\ell$ ile gösterelim. $\ell$ ile $AC$ doğrusunun kesişim noktası $E$; $\Gamma$ ile $\ell$ nin, $D$ ve $E$ arasında kalan kesişim noktası da $F$ olsun.
$BFE$ ve $CFD$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin birbirlerine $F$ noktasında teğet olduklarını kanıtlayınız.

Tüm $x$, $y$ ve $z$ pozitif gerçel sayıları için, $$\sum_{\text{cyc}} (x + y)\sqrt {(z + x)(z + y)} \ge 4(xy + yz + zx),$$ olduğunu kanıtlayınız.
Yukarıdaki notasyonda sol taraftaki ifade $$(x + y)\sqrt {(z + x)(z + y)} + (y + z)\sqrt { (x + y)(x + z)} + (z + x)\sqrt {(y + z)(y + x)}$$ toplamını göstermektedir.

$n$ bir pozitif tam sayı ve $P_n = \{2^n, 2^{n−1} \cdot 3, 2^{n−2} \cdot 3^2, \dots, 3^n \}$ olsun. $P_n$ nin herhangi bir $X$ altkümesinin elemanlarının toplamını $S_X$ ile gösterelim. Burada $\emptyset$ boş kümesi için, $S_\emptyset = 0$ olarak tanımlayalım. $y$ gerçel sayısı $0 \le y \le 3^{n+1} − 2^{n+1}$ koşulunu sağlasın.
$0 \leq y − S_Y < 2^n$ olacak biçimde $P_n$ kümesinin bir $Y$ altkümesinin bulunduğunu kanıtlayınız.

$\mathbb Z^{+}$ pozitif tam sayılar kümesi olsun. Aşağıdaki her iki koşulu da sağlayan tüm $f : \mathbb Z^{+} \to \mathbb Z^{+}$ fonksiyonlarını bulunuz:

• Her $n$ pozitif tam sayısı için, $f(n!) = f(n)!$ ve
• Birbirinden farklı tüm $m$ ve $n$ pozitif tam sayları için $m−n$ farkı $f(m)-f(n)$ yi böler