Balkan Matematik Olimpiyatı - 2013 Çözümleri

Bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinin karşısındaki dış teğet çember $\omega_A$ $AB$ ye $P$, $AC$ ye $Q$ noktasında teğettir. $B$ köşesinin karşısındaki dış teğet çember $\omega_B$ ise $BA$ ya $M$, $BC$ ye $N$ noktasında teğettir. $C$ noktasının $MN$ ye izdüşümü $K$, $PQ$ ya izdüşümü $L$ olsun. $MKLP$ dörtgeninin kirişler dörtgeni olduğunu gösteriniz.

$x^5+4^y=2013^z$ eşitliğini sağlayan tüm $x,y,z$ pozitif tam sayılarını bulunuz.

$S$, pozitif reel sayıların kümesi olsun. Tüm $x,y,z$ ve $k$ pozitif reel sayıları için,

(a) $xf(x,y,z)=zf(z,y,x)$

(b) $f(x,ky,k^2z)=kf(x,y,z)$

(c) $f(1,k,k+1)= k+1$

eşitliklerinin üçünü de sağlayan tüm $f:S^3\rightarrow S$ fonksiyonlarını bulunuz.

Bir matematik yarışmasında yarışmacıların bazıları arkadaştır; arkadaşlıklar karşılıklıdır, yani $A$ $B$ nin arkadaşı ise, $B$ de $A$ nın arkadaşıdır.
$n\ge3$ farklı yarışmacı $A_1, A_2, \ldots,A_n$ için, her $1\le i\le n$ için $A_i$, $A_{i+1}$ in arkadaşı değilse ($A_{n+1}=A_1$), ve bu yarışmacılar arasında arkadaş olmayan başka ikili bulunmuyorsa bu yarışmacılara zayıf arkadaşlık döngüsü diyelim.

Aşağıdaki koşul sağlanmaktadır:

"her $C$ yarışmacısı ve $C$ yi içermeyen $S$ zayıf arkadaşlık döngüsü için, $S$ den $C$ ile arkadaş olmayan yarışmacıların kümesi $D$, en fazla bir eleman içermektedir"

Yarışmadaki tüm yarışmacaların üç odaya ayrılabileğini ispatlayınız, öyle ki, aynı odadaki herhangi iki yarışmacı arkadaş olsun.