$x,y,z$ pozitif reel sayıları $xy+yz+zx=3xyz$ koşulunu sağlıyorsa \[x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x \geq 2(x+y+z)-3 \] eşitsizliğini ispatlayınız.Eşitlik durumunu bulunuz.

Bir $n$ pozitif tamsayısı için $n=\dfrac{a^3+2b^3}{c^3+2d^3}$ olacak şekilde $a,b,c,d$ pozitif tamsayıları bulunuyorsa $n$ ye $\textit{mutlu sayı}$ diyelim. Buna göre;

$\textbf{(a.)}$ $2014$ sayısının bir $\textit{mutlu sayı}$ olmadığını gösteriniz.

$\textbf{(b.)}$ Sonsuz çoklukta  $\textit{mutlu sayı}$ olduğunu gösteriniz.

$ABCD$, köşeleri $AB$ çaplı $\Gamma$ çemberi üzerinde olan bir yamuk olsun. $E$ noktası, $AC$ ve $BD$ köşegenlerinin kesişim noktası olsun. $B$ merkezli $BE$ yarıçaplı çember $\Gamma$ yı $K$ ve $L$ noktalarında kesiyor ($K$, $AB$ ye göre $C$ ile aynı tarafta kalacak şekilde). $BD$ ye $E$ de dik olan doğru $CD$ yi $M$ de kesiyor. $KM$ nin $DL$ ye dik olduğunu gösteriniz.

$n$ bir pozitif tam sayı olsun. Kenar uzunluğu $n$ olan bir düzgün altıgen, kenarlarına paralel doğrularla kenar uzunluğu $1$ olan eşkenar üçgenlere bölünmüştür. Köşeleri, bu eşkenar üçgenlerin köşelerinden olan düzgün altıgenlerin sayısını bulunuz.