Katsayıları $2a$ $+$ $3b$ $+$ $6c$ $=$ $0$ koşulunu sağlayan her gerçel katsayılı $P(x)$ $=$ $ax^2$ $+$ $bx$ $+$ $c$ polinomunun $(0,1)$ aralığında en az $1$ kökü olduğunu gösteriniz.

On tabanında yazılımındaki her rakamı solundaki rakamından küçük olan hiçbir sayının $111$ ile bölünemeyeceğini gösteriniz.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin $AD$ ve $CE$ yükseklikleri $H$ noktasında kesişiyor. $[AC]$ kenarının orta noktası $K$ ve $[DE]$ doğru parçasının orta noktası da $P$ olsun. $K$ nin $AD$ doğrusuna göre simetriği $Q$ noktası ise $m(\widehat{QPH})=90^\circ$ olduğunu gösteriniz.

$11$$\times$$11$ bir satranç tahtasının bazı birim karelerinde birer taş bulunuyor. Tüm tahtada ve tahtanın her $2$$\times$$2$ karesinde çift sayıda taş bulunuyorsa, tahtanın her köşegeni üstünde de çift sayıda taş bulunduğunu gösteriniz.

$|AB|=|AC|$ olan bir $ABC$ üçgeninin $A$ ve $C$ köşelerinden geçen bir $\Gamma$ çemberi $[AB]$ kenarını $D$ noktasında kesiyor. $A$ köşesine ait açıortay $\Gamma$ çemberini $A$ dan farklı bir $E$ noktasında kesiyorsa $AEB$ üçgeninin diklik merkezinin $\Gamma$ çemberi üstünde olduğunu gösteriniz.

$\text{a.}$ $x^2+px+q$ ve $x^2+(p+1)x+q$ polinomlarının her ikisinin de iki farklı tamsayı kökü olmasını sağlayan $q>0$ ve $p$ gerçel sayıları var mıdır?

$\text{b.}$ $x^2+px+q$ ve $x^2+(p+1)x+q$ polinomlarının her ikisinin de iki farklı tamsayı kökü olmasını sağlayan $q<0$ ve $p$ gerçel sayılarını belirleyiniz.

$18$ oyuncunun katıldığı bir turnuvada her oyuncu her gün farklı bir oyuncuyla maç yapıyor. İlk $8$ günün maçları tamamlandığında birbiriyle maç yapmamış $3$ oyuncunun bulunmasının mümkün olup olmadığını gösteriniz.

Bir $n$ pozitif tamsayısını bölen asal sayıların sayısını $\omega(n)$ ile belirtelim. Buna göre;

$\text{a.}$ $a<b$ ve $\omega(a+b)=\omega(a)+\omega(b)$ olacak şekilde sonsuz çoklukta $(a,b)$ pozitif tamsayı ikilisi bulunduğunu gösteriniz.

$\text{b.}$ $a<b$ ve $\omega(a+b)=\omega(a)+\omega(b) >2013$ olacak şekilde sonsuz çoklukta $(a,b)$ pozitif tamsayı ikilisi bulunduğunu gösteriniz.