Genç Balkan Matematik Olimpiyatı - 2012

$a,b,c$ pozitif reel sayıları $a+b+c=1$ koşulunu sağlıyorsa \[\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}+6 \geq 2\sqrt{2} \left ( \sqrt{\dfrac{1-a}{a}}+\sqrt{\dfrac{1-b}{b}}+\sqrt{\dfrac{1-c}{c}} \right) \] eşitsizliğini ispatlayınız.Eşitlik durumunu bulunuz.

$A$ ve $B$ noktalarında kesişen $k_{1}$ ve $k_{2}$ çemberlerine, sırasıyla $M$ ve $N$ noktalarında teğet olan $t$ doğrusu çiziliyor. $t \perp AM$ ve $ MN=2AM$ ise $\angle{NMB}$ nı bulunuz. 

Herhangi ikisi arasında tam olarak bir yol bulunan ve $n$ şehirden oluşan bir ülkedeki tüm yolları elimizdeki $n$ renkle boyuyoruz öyle ki hepsi farklı renkler olan her renk üçlüsü için; bu üç renkle boyanmış yollarla birbirine bağlanmış üç şehir bulunsun. $n$ sayısı $6,7$ değerlerinden hangilerini alabilir?

$2^x \cdot 3^y+5^z=7^t$ eşitliğini sağlayan tüm $x,y,z$ ve $t$ pozitif tam sayılarını bulunuz.