Genç Balkan Matematik Olimpiyatı - 2013 Çözümleri
« 2012 2014 »
« Sorulara Git
Geri

Genç Balkan Matematik Olimpiyatı - 2013 Çözümleri

1
$\dfrac{a^3b-1}{a+1}$ ve $\dfrac{b^3a+1}{b-1}$ sayılarının pozitif tam sayı olmasını sağlayan tüm $(a,b)$ pozitif tam sayı ikililerini bulunuz.
Çözüm 1:
(Mehmet Utku Özbek)

$\dfrac{a^3b-1}{a+1}=\dfrac{a^3b+a^2b-a^2b-ab+ab+b-b-1}{a+1}=\dfrac{a^2b(a+1)-ab(a+1)+b(a+1)-b-1}{a+1} \ \ \ \ \ \Longrightarrow  a+1 \ | \ b+1$

$\dfrac{b^3a+1}{b-1}=\dfrac{b^3a-b^2a+b^2a-ba+ab-a+a+1}{b-1}=\dfrac{b^2a(b-1)+ba(b-1)+a(b-1)+a+1}{b-1} \ \ \ \ \ \Longrightarrow  b-1 \ | \ a+1$

$\Longrightarrow  b-1 \ | \ b+1  \ \ \ \ \Longrightarrow b-1 \ | \ 2$

$\Longrightarrow  b=3, \ \ b=2$

$\Longrightarrow$  Çözümler $\ (a,b)=(1,3) \ , \ (3,3) \ , \ (2,2)$
Çözüm 2:
Çözüm 2: Sırasıyla iki küp toplamı ve iki küp farkı özdeşliklerinden faydalanarak

$\dfrac{a^3b-1}{a+1}=\dfrac{a^3b+b}{a+1}-\dfrac{b+1}{a+1} \ \ \ \ \ \Longrightarrow  a+1 \ | \ b+1$

$\dfrac{b^3a+1}{b-1}=\dfrac{b^3a-a}{b-1}+\dfrac{a+1}{b-1} \ \ \ \ \ \Longrightarrow  b-1 \ | \ a+1$

$\Longrightarrow  b-1 \ | \ b+1  \ \ \ \ \Longrightarrow b-1 \ | \ 2$

$\Longrightarrow  b=3, \ \ b=2$

$\Longrightarrow \ (a,b)=(1,3) \ , \ (3,3) \ , \ (2,2)$ çözümleri bulunur.
2
$|AB| < |AC|$ olmak üzere $ABC$ dar açılı üçgeninin $\omega$ çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $[BC]$ kenarı üzerinde $s(\widehat {BAD}) = s(\widehat {CAO})$ olacak şekilde bir $D$ noktası alınıyor. $AD$ doğrusu $\omega$ çemberini ikinci kez $E$ noktasında kesiyor. $M$, $N$ ve $P$ sırasıyla, $[BE]$, $[OD]$ ve $[AC]$ doğru parçalarının orta noktaları ise, $M$, $N$ ve $P$ noktalarının doğrusal olduğunu gösteriniz.
Çözüm 1:
Basit açı hesaplarıyla ya da $AD$ ile $AO$ nun izogonal eşlenik olduğu bilgisiyle $AD \perp BC$ olduğu hemen görülebilir.
$MD$ nin $AC$ ile kesişimine $Q$ dersek, $\angle DAQ = \angle MBD = \angle BDM$ dolayısıyla $\angle ADQ = 90^\circ - \angle BDM = 90^\circ - \angle DAQ$ olduğu için $MQ \perp AC$, yani $MD \parallel OP$ dir.
$ABC$ üçgeninin diklik merkezine $H$ dersek, $\angle BHD = \angle ACD = \angle BED$, dolayısıyla $BH=BE$. $BH=2\cdot OP$ bilinen bir özellik (değilse $BE$ için $ABEC$ kirişler dörtgeninde Sinüs Teoremi uygulayın.), dolayısıyla $MD=\dfrac {BE}2 = AP$ ve $MD \parallel OP$ den $MP$ ile $OD$ nin birbirlerini ortaladığı sonucunu çıkarabiliriz. $\blacksquare$
Çözüm 2:
Yukarıdaki çözümdeki $MD \parallel OP$ ye kadar olan adımları tekrarlayalım.
$MD \parallel OP$ ise benzer şekilde $DP \parallel OM$ olacaktır. Bu durumda $DPOM$ bir paralelkenar, yani $DO$ ile $MP$ birbirini ortalayacaktır. $\blacksquare$
3
$ab \ge 1$ koşulunu sağlayan tüm $a$ ve $b$ pozitif gerçel sayıları için $$\left ( a + 2b + \dfrac 2{a + 1} \right ) \left (b + 2a + \dfrac 2{b + 1} \right ) \ge 16$$ olduğunu gösteriniz.
4
$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, Ayşe ve Burak aşağıda tanımlanan oyunu oynuyorlar:
Burak aşağıdaki durumlarda oyunu kesinlikle kazanacağından emin olabilir mi?
a. $n = 5 \quad$ b. $n = 6 \quad$ c. $n = 8$
Cevaplarınızı açıklayınız.

[Örneğin $n = 4$ durumunda Ayşe $1, 5, 7, 9$ sayılarını seçerse, $2, 4, 6, 10$ sayıları da aynı ikili toplamları vereceği için, Burak oyunu kesinlikle kazanacağından emin olamaz.]