Genç Balkan Matematik Olimpiyatı - 2013

$\dfrac{a^3b-1}{a+1}$ ve $\dfrac{b^3a+1}{b-1}$ sayılarının pozitif tam sayı olmasını sağlayan tüm $(a,b)$ pozitif tam sayı ikililerini bulunuz.

$|AB| < |AC|$ olmak üzere $ABC$ dar açılı üçgeninin $\omega$ çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $[BC]$ kenarı üzerinde $s(\widehat {BAD}) = s(\widehat {CAO})$ olacak şekilde bir $D$ noktası alınıyor. $AD$ doğrusu $\omega$ çemberini ikinci kez $E$ noktasında kesiyor. $M$, $N$ ve $P$ sırasıyla, $[BE]$, $[OD]$ ve $[AC]$ doğru parçalarının orta noktaları ise, $M$, $N$ ve $P$ noktalarının doğrusal olduğunu gösteriniz.

$ab \ge 1$ koşulunu sağlayan tüm $a$ ve $b$ pozitif gerçel sayıları için $$\left ( a + 2b + \dfrac 2{a + 1} \right ) \left (b + 2a + \dfrac 2{b + 1} \right ) \ge 16$$ olduğunu gösteriniz.

$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, Ayşe ve Burak aşağıda tanımlanan oyunu oynuyorlar:

• Ayşe, birbirinden farklı olması gerekmeyen $n$ tane gerçel sayı seçiyor
• Ayşe, seçtiği sayıların tüm ikili toplamlarını bir kağıt üzerine yazıp Burak'a veriyor (Kağıtta $\frac {n(n-1)}2$ tane birbirinden farklı olması gerekmeyen sayı yazılıdır)
• Burak, Ayşe'nin oyunun başında seçtiği $n$ tane sayıyı doğru olarak belirlerse oyunu kazanıyor

Burak aşağıdaki durumlarda oyunu kesinlikle kazanacağından emin olabilir mi?
a. $n = 5 \quad$ b. $n = 6 \quad$ c. $n = 8$
Cevaplarınızı açıklayınız.

[Örneğin $n = 4$ durumunda Ayşe $1, 5, 7, 9$ sayılarını seçerse, $2, 4, 6, 10$ sayıları da aynı ikili toplamları vereceği için, Burak oyunu kesinlikle kazanacağından emin olamaz.]