2
Alanı $S$ olan dar açılı bir $ABC$ üçgeni verilmiştir. $CD \perp AB$ ($D \in AB$), $DM \perp AC$ ($M \in AC$) ve $DN \perp BC$ ($N \in BC$) dir. $H_1$ ve $H_2$ sırasıyla $MNC$ ve $MND$ üçgenlerinin diklik merkezleridir. $AH_1BH_2$ dörtgeninin alanını $S$ cinsinden bulunuz.
3
$a, b, c$ pozitif reel sayıları $abc = 1$ koşulunu sağlıyorsa $$\left ( a+ \dfrac 1b \right )^2 + \left ( b+ \dfrac 1c \right )^2 + \left ( c+ \dfrac 1a \right )^2 \ge 3(a+b+c+1)$$ eşitsizliğini ispatlayınız.
Eşitlik durumunu bulunuz.
4
$n$ pozitif tam sayısı için, $A$ ve $B$ gibi $2$ oyuncu aşağıdaki oyunu oynamaktadırlar: $s$ tane taştan oluşan bir taş yığını verildiğinde, oyuna $A$ başlamak üzere oyuncular sıra ile hamle yapıyorlar. Her hamlede oyuncu ya bir taş, ya bir asal sayı kadar taş, ya da $n$ sayısının pozitif tam katı sayıda taş alabilir. Son taşı alan oyuncu kazanıyor. $A$ ve $B$ oyuncularının ikisi de mükemmel oynarsa, $s$ sayısının kaç tane değeri için $A$ oyuncusu oyunu kazanamaz?