Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı

$ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ dur. Sırasıyla, $[BC]$, $[CA]$ ve $[AB]$ kenarlarının iç noktaları olan $D$, $E$ ve $F$ için, $DE$ doğrusu $CO$ doğrusuna ve $DF$ doğrusu da $BO$ doğrusuna diktir. (İç nokta ile, örneğin, $D$ nin $BC$ doğrusu üstünde ve $B$ ile $C$ arasında yer aldığını kastediyoruz.)
$K$, $AFE$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi olsun. $DK$ ve $BC$ doğrularının birbirine dik olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm:

(Mehmet Utku Özbek)

$BO \cap DF ={G}$ ve $DE \cap OC = {H}$ olsun. $\angle OBC=\angle OCB=\alpha$ olsun. O zaman $\angle BOC=180-2\alpha$ ve $\angle BAC=90-\alpha$ olur. $OHDG$ kirişler dörtgeni olduğu için $\angle GDH=2\alpha$ olur. $K \ \ , \ \triangle AFE$ nin çevrel çemberinin merkezi olduğu için $\angle FKE=180-2\alpha$ ve $\triangle FKE$ ikizkenar olduğu için $\angle KFE=\angle KEF=\alpha$ olur. O zaman $FKED$ de bir kirişler dörtgenidir. O zaman $\angle KFE=\angle KDE=\alpha$ olur. $\triangle DHC$ dik üçgen olduğu için ve $\angle HCD=\alpha$ olduğu için $\angle HDC=90-\alpha$ olur. O zaman $\angle KDC= \alpha+(90-\alpha)=90^\circ$ olur. Yani $DK \perp BC$ dir. İspat biter.

$n$ pozitif bir tam sayı olsun. Aşağıdaki koşulu sağlayan en büyük $m$ tam sayısını bulunuz:
$m$ satır ve $n$ sütunu olan bir tablo, herhangi iki farklı satırındaki $[a_1, a_2, \dots , a_n]$ ve $[b_1, b_2, \dots , b_n]$ sayları $$\max\left (|a_1 - b_1|, |a_2 - b_2|, \dots , |a_n - b_n|\right) = 1.$$ koşulunu sağlayacak biçimde gerçel sayılarla doldurulabilir.

Her $x, y \in \mathbb R$ için, $$f\left (yf(x + y) + f(x)\right )= 4x + 2yf(x + y)$$ koşulunu sağlayan tüm $f : \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonlarını bulunuz.

Tam sayılardan oluşan bir $A$ kümesi $A \subseteq A + A$ koşulunu sağlıyorsa; yani, her $a \in A$ elemanı farklı olması gerekmeyen $b, c \in A$ elemanlarının toplamı olarak yazılabiliyorsa, $A$ ya toplamlı diyoruz. Tam sayılardan oluşan bir $A$ kümesinin boş olmayan sonlu bir altkümesinin elemanlarının toplam biçiminde yazılamayan tek tam sayı $0$ ise, $A$ ya sıfır-toplamsız diyoruz.
Tam sayılardan oluşan ve hem toplamlı, hem de sıfır-toplamsız olan bir küme var mıdır?

$p, q$ asal sayıları bir $n$ pozitif tam sayısı için
$$\dfrac p{p + 1} + \dfrac {q + 1}q = \dfrac{2n}{n + 2}$$ eşitliğini sağlıyor. $q - p$ nin alabileceği tüm değerleri bulunuz.

Suratkitabı sosyal ağında sonsuz çoklukta üye kayıtlıdır. Bazı üye çiftleri arkadaş olarak kayıtlıdır, ama her üyenin sonlu sayıda arkadaşı vardır. Her üyenin en az bir arkadaşı vardır. (Arkadaşlık simetriktir;
yani, $A$, $B$ nin arkadaşı ise, $B$ de $A$ nın arkadaşıdır.)
Her üyenin bir arkadaşını en iyi arkadaşı olarak belirlemesi gerekmektedir. $A$, $B$ yi en iyi arkadaşı olarak belirlerse, (maalesef) $B$ nin de $A$ yı en iyi arkadaşı olarak belirlemesi gerekmemektedir. En iyi arkadaş olarak belirlenmiş bir üyeye $1$-en iyi arkadaş denilmektedir. Daha genel olarak, $n > 1$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $(n - 1)$-en iyi arkadaş olan bir üyenin en iyi arkadaşı olan bir üyeye $n$-en iyi arkadaş denilmektedir. Tüm $k$ pozitif tam sayıları için $k$-en iyi arkadaş olan bir üyeye popüler denilmektedir.

Her popüler üyenin başka en az bir popüler üyenin en iyi arkadaşı olduğunu kanıtlayınız.
Üyelerin sonsuz çoklukta arkadaşı olmasına izin verilseydi, bir popüler üyenin hiçbir popüler üyenin en iyi arkadaşı olmamasının mümkün olduğunu gösteriniz.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $\Gamma$ ve diklik merkezi $H$ olsun. $K$, $\Gamma$ üstünde ve $BC$ doğrusunun $A$ ya göre farklı tarafında yer alan bir nokta olsun. $K$ noktasının $AB$ doğrusuna göre yansıması $L$ noktası ve $K$ noktasının $BC$ doğrusuna göre yansıması da $M$ noktası olsun. $\Gamma$ ile $BLM$ üçgeninin çevrel çemberi ikinci kez $E$ noktasında kesişsin. $KH$, $EM$ ve $BC$ doğrularının ortak bir noktadan geçtiğini gösteriniz.
(Bir üçgenin diklik merkezi her üç yüksekliğinin de geçtiği noktadır.)

Çözüm:

(Mehmet Utku Özbek)

$\angle ACB= \alpha$ dersek $\angle AHB=180-\alpha$ olur. $ABKC$ çembersel olduğu için $\angle ACB= \angle AKB=\alpha$ olur. $ALBK$ deltoid olduğu için $\angle AKB=\angle ALB=\alpha$ olur. Dolayısıyla $ALBH$ çemberseldir. Şimdi $AH$ ı çizelim

ve $\Gamma$ yı ikinci kez kestiği noktaya $G$ diyelim. $AG \cap BC ={F}$ olsun. Diklik merkezinin kuralı gereği $|HF|=|FG|$ dir. $AG // MK$ olduğu için $HMKG$ ikizkenar yamuktur ve $BC$ bu ikizkenar yamuğun simetri eksenidir.

Dolayısıyla $HK$ ve $MG$ köşegenleri , $BC$ üzerinde kesişir. $AB \cap LK= P$ ve $MK \cap BC=R$ olsun. $\angle PBC=\beta$ ve $\angle KBC=\theta$ diyelim. $\angle LBP= \angle PBK$ olduğu için $\angle PBL= \beta + \theta$ olur. $\angle PLB=90-\beta-\theta$

olur. $PRKB$ kirişler dörtgeni olduğu için $\angle RBK=\angle RPK=\theta$ olur. $|LP|=|PK|$ ve $|MR|=|RK|$ olduğu için $PR // ML$ dir. O zaman $\angle MLK=\theta$ olur ve

$\angle BLM= \angle MLK+\angle PLB=90-\beta-\theta+\theta=90-\beta$ olur. $\triangle ABF$ de $\angle ABF=\beta$ olduğu için $\angle BAF=90-\beta$ olur. $ALBH$ nin çembersel olduğunu bulmuştuk. Ve $\angle BAF=\angle BLM=90-\beta$ olduğunu bulduk.

O zaman $AF \cap LM= H$ olmalıdır. Yani $H \ \ , \ \ LM$ nin üstündedir. $LBME$ çemberselmiş. O zaman $\angle BAH=\angle BLM=\angle BEM=90-\beta$ dir.

Şimdi dikkatli bir şekilde bakalım. $\angle BAH$ açısı $BG$ yayını görüyor ve derecesi $90-\beta$ . $\angle BEM$ açısının ölçüsü de $90-\beta$ . O zaman $EM$ doğrusu $G$ den geçmelidir. Yani $G \ , \ M \ , \ E$ noktaları doğrusaldır.

$KH \ , \ MG \ , \ BC$ nin noktadaş olduğunu göstermiştik. $MG$ doğrusu ile $EM$ doğrusunun aynı olduğunu gösterdik. İspat bitti.

Bir alfabeye ait harflerden oluşan sonlu bir diziye bir kelime diyelim. Birbirinin aynı en az iki altkelimesinin arka arkaya gelmesinden oluşan bir kelimeye tekrarlı diyelim (örneğin, $ababab$ ve $abcabc$ tekrarlıdır, ama $ababa$ ve $aabb$ değildir). Bir kelimenin herhangi komşu iki harfinin yerinin değiştirilmesiyle oluşan her kelime tekrarlı oluyorsa, bu kelimenin tüm harflerinin aynı olduğunu kanıtlayınız. (Birbirinin aynı olan komşu iki harfinin yerinin değiştirilmesinin bir kelimeyi aynı bıraktığına dikkat ediniz.)

Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı - 2012 Çözümleri