Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı - 2012

$ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ dur. Sırasıyla, $[BC]$, $[CA]$ ve $[AB]$ kenarlarının iç noktaları olan $D$, $E$ ve $F$ için, $DE$ doğrusu $CO$ doğrusuna ve $DF$ doğrusu da $BO$ doğrusuna diktir. (İç nokta ile, örneğin, $D$ nin $BC$ doğrusu üstünde ve $B$ ile $C$ arasında yer aldığını kastediyoruz.)
$K$, $AFE$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi olsun. $DK$ ve $BC$ doğrularının birbirine dik olduğunu kanıtlayınız.

$n$ pozitif bir tam sayı olsun. Aşağıdaki koşulu sağlayan en büyük $m$ tam sayısını bulunuz:
$m$ satır ve $n$ sütunu olan bir tablo, herhangi iki farklı satırındaki $[a_1, a_2, \dots , a_n]$ ve $[b_1, b_2, \dots , b_n]$ sayları $$\max\left (|a_1 - b_1|, |a_2 - b_2|, \dots , |a_n - b_n|\right) = 1.$$ koşulunu sağlayacak biçimde gerçel sayılarla doldurulabilir.

Her $x, y \in \mathbb R$ için, $$f\left (yf(x + y) + f(x)\right )= 4x + 2yf(x + y)$$ koşulunu sağlayan tüm $f : \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonlarını bulunuz.

Tam sayılardan oluşan bir $A$ kümesi $A \subseteq A + A$ koşulunu sağlıyorsa; yani, her $a \in A$ elemanı farklı olması gerekmeyen $b, c \in A$ elemanlarının toplamı olarak yazılabiliyorsa, $A$ ya toplamlı diyoruz. Tam sayılardan oluşan bir $A$ kümesinin boş olmayan sonlu bir altkümesinin elemanlarının toplam biçiminde yazılamayan tek tam sayı $0$ ise, $A$ ya sıfır-toplamsız diyoruz.
Tam sayılardan oluşan ve hem toplamlı, hem de sıfır-toplamsız olan bir küme var mıdır?

$p, q$ asal sayıları bir $n$ pozitif tam sayısı için
$$\dfrac p{p + 1} + \dfrac {q + 1}q = \dfrac{2n}{n + 2}$$ eşitliğini sağlıyor. $q - p$ nin alabileceği tüm değerleri bulunuz.

Suratkitabı sosyal ağında sonsuz çoklukta üye kayıtlıdır. Bazı üye çiftleri arkadaş olarak kayıtlıdır, ama her üyenin sonlu sayıda arkadaşı vardır. Her üyenin en az bir arkadaşı vardır. (Arkadaşlık simetriktir;
yani, $A$, $B$ nin arkadaşı ise, $B$ de $A$ nın arkadaşıdır.)
Her üyenin bir arkadaşını en iyi arkadaşı olarak belirlemesi gerekmektedir. $A$, $B$ yi en iyi arkadaşı olarak belirlerse, (maalesef) $B$ nin de $A$ yı en iyi arkadaşı olarak belirlemesi gerekmemektedir. En iyi arkadaş olarak belirlenmiş bir üyeye $1$-en iyi arkadaş denilmektedir. Daha genel olarak, $n > 1$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $(n - 1)$-en iyi arkadaş olan bir üyenin en iyi arkadaşı olan bir üyeye $n$-en iyi arkadaş denilmektedir. Tüm $k$ pozitif tam sayıları için $k$-en iyi arkadaş olan bir üyeye popüler denilmektedir.

• Her popüler üyenin başka en az bir popüler üyenin en iyi arkadaşı olduğunu kanıtlayınız.
• Üyelerin sonsuz çoklukta arkadaşı olmasına izin verilseydi, bir popüler üyenin hiçbir popüler üyenin en iyi arkadaşı olmamasının mümkün olduğunu gösteriniz.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $\Gamma$ ve diklik merkezi $H$ olsun. $K$, $\Gamma$ üstünde ve $BC$ doğrusunun $A$ ya göre farklı tarafında yer alan bir nokta olsun. $K$ noktasının $AB$ doğrusuna göre yansıması $L$ noktası ve $K$ noktasının $BC$ doğrusuna göre yansıması da $M$ noktası olsun. $\Gamma$ ile $BLM$ üçgeninin çevrel çemberi ikinci kez $E$ noktasında kesişsin. $KH$, $EM$ ve $BC$ doğrularının ortak bir noktadan geçtiğini gösteriniz.
(Bir üçgenin diklik merkezi her üç yüksekliğinin de geçtiği noktadır.)

Bir alfabeye ait harflerden oluşan sonlu bir diziye bir kelime diyelim. Birbirinin aynı en az iki altkelimesinin arka arkaya gelmesinden oluşan bir kelimeye tekrarlı diyelim (örneğin, $ababab$ ve $abcabc$ tekrarlıdır, ama $ababa$ ve $aabb$ değildir). Bir kelimenin herhangi komşu iki harfinin yerinin değiştirilmesiyle oluşan her kelime tekrarlı oluyorsa, bu kelimenin tüm harflerinin aynı olduğunu kanıtlayınız. (Birbirinin aynı olan komşu iki harfinin yerinin değiştirilmesinin bir kelimeyi aynı bıraktığına dikkat ediniz.)