Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı - 2013

Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı, $|CD|=|BC|$ olacak biçimde $C$ noktasının ötesindeki bir $D$ noktasına uzatılıyor. $[CA]$ kenarı ise, $|AE|=2|CA|$ olacak biçimde $A$ noktasının ötesindeki bir $E$ noktasına uzatılıyor. $|AD|=|BE|$ ise, $ABC$ nin bir dik üçgen olduğunu ispatlayınız.

$m\times m$ boyutlarındaki bir karenin, kenar uzunlukları herhangi bir sırada $1,2,3,\dots,10 $ birim olan beş dikdörtgene ayrılmasını olanaklı kılan tüm $m$ pozitif tam sayılarını belirleyiniz.

$n$ pozitif bir tam sayı olsun.

(a) Herhangi ikisinin en küçük ortak katı $3n^2$ yi aşmayan ve birbirinden farklı olan $6n$ tane pozitif tam sayıdan oluşan bir $S$ kümesinin bulunduğunu kanıtlayınız.

(b) Birbirinden farklı olan $6n$ tane pozitif tam sayıdan oluşan her $T$ kümesinin, en küçük ortak katı $9n^2$ den büyük olan bir pozitif tam sayı çifti içerdiğini kanıtlayınız.

$P(n)=\dfrac{n^5+a}{b}$ polinomunun tam sayı değerler aldığı üç tane ardışık tam sayı bulunmasını sağlayan tüm $a$ ve $b$ pozitif tam sayılarını bulunuz.

$ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $\Omega$ olsun. $\omega$ çemberi, $[AC]$ ve $[BC]$ kenarlarına teğet ve $P$ noktasında da $\Omega$ çemberine içten teğettir. $AB$ doğrusuna paralel olan ve $ABC$ üçgeninin iç bölgesini kesen bir doğru, $\omega$ çemberine $Q$ noktasında teğettir. $m(\widehat{ACP})=m(\widehat{QCB})$ olduğunu kanıtlayınız.

Pamuk Prenses ve Yedi Cüceler ormanda bir evde yaşıyor. $16$ ardışık günün her birinde, cücelerden bazıları elmas madeninde çalışıyor, diğerleri ile ormanda böğürtlen topluyor. Hiçbir cüce aynı günde iki işi birden yapmıyor. Herhangi (ardışık olması gerekmeyen) iki günde, her biri iki farklı işi de yapan en az üç cüce bulunuyor. Dahası, ilk gün bütün cüceler elmas madeninde çalışıyor. $16$ günden birinde bütün cücelerin böğürtlen topladığını kanıtlayınız.